Условное распределение
Пусть и - случайные векторы произвольной конечной размерности (например, k и s ) заданные на некотороми вероятностном пространстве
Функция называется условным распределением случайной величины при условии , если
1. При каждом условная вероятность
2. При каждом функция является распределением
Замечательным является тот факт, что для любых случайных векторов условное распределение существует. Доказательство этого утверждения и более общие условия существования условного распределения можно найти, например, в книге Ширяева. Для условного распределения часто используют следующее обозначение:
Если условное распределение при каждом имеет плотность относительно некоторой меры , то эта плотность называется условной плотностью распределения случайной величины при условии и обозначается
Обозначив распределение случайной величины , используя свойства 8) и 9) условного математического ожидания получим, что для любых борелевских подмножеств
Наоборот, если функция удовлетворяет соотношению
то она, очевидно, является условной плотностью.
Если распределение имеет плотность относительно меры , то
Данное соотношение означает, что функция
является совместной плотностью вектора относительно произведения мер