Взаимосвязь различных видов сходимости
Взаимосвязь различных видов сходимости представлена на следующей диаграмме.
Заметим, что ни одну из стрелок на данной диаграмме нельзя, вообще говоря, повернуть назад, т.е. любые два вида сходимости неэквивалентны. Практическое значение имеют, в основном, слабая сходимость и сходимость в среднеквадратическом потому что они позволяют производить приближенные вычисления вероятностей и математических ожиданий и заменять одни математические модели другими. Остальные виды сходимости используются в основном при доказательстве слабой сходимости или исследовании качественных свойств модели. Поэтому более подробно исследуем взаимосвязи этих двух видов сходимости в остальными.
Покажем, вначале, что из сходимости по вероятности следует слабая сходимость.
Теорема (P->W).
Пусть
.
Тогда
Доказательство.
Пусть x – точка непрерывности функции
.
Тогда
и
Таким образом
При малых 
и больших n левая и правая часть неравенства отличаются сколь угодно мало от , что доказывает теорему.
Доказательство завершено.
Обратная теорема верна при дополнительном условии.
Теорема (W->P).
Пусть
Тогда
Доказательство.
Доказательство завершено.
Покажем, что из сходимости в среднеквадратическом следует сходимость по вероятности.
Теорема (L2->P).
Пусть
Тогда
Доказательство.
Используем неравенство Маркова
.