Теорема (о непрерывности вероятностной меры)

Формулировка.

Пусть

убывающая последовательность событий с пустым общим пересечением

Тогда

.

Доказательство.

Заметим, что события

попарно несовместны и

Следовательно ряд из вероятностей событий

сходится и его хвост, равный

стремится к нулю.

Докажите!

Верно и обратное – ограниченная непрерывная конечно-аддитивная функция является счетно-аддитивной.

Заметим, что для доказательства важна только конечность значения , поэтому теорема справедлива не только для вероятностных, но и для любых конечнных мер.