Дискретные случайные величины

Определение 5.4. Случайная величина Х называется дискретной, если множество ее возможных значений конечно или счетно.

Распределение дискретной случайной величины удобно описывать с помощью ряда распределения.

Определение 5.5. Рядом распределения (вероятностей) дискретной случайной величины Х называют таблицу (таблица 5.1), состоящую из двух строк: в первой строке перечислены все возможные значения случайной величины, а во второй – вероятности того, что случайная величина примет эти значения.

Таблица 5.1

			…
			…

Если число значений случайной величины счетное, то таблица содержит бесконечное множество ячеек. В таком случае должно быть задано правило, по которому определяются вероятности . Вероятности в этой таблице подчиняются условию (или соответственно в случае бесконечного множества элементарных исходов.)

Функция распределения дискретной случайной величины определяется как

Функция распределения дискретной случайной величины является ступенчатой (рис. 7), причем величины скачков равны вероятностям соответствующих реализаций случайной величины .

рис. 7

Далее рассмотрим наиболее часто встречающиеся на практике распределения дискретных случайных величин.

1. Биномиальное распределение.Говорят, что дискретная случайная величина распределена по биномиальному закону, если она принимает значения с вероятностями

, ,

где , .

Заметим, что биномиальное распределение является распределением числа успехов в испытаниях по схеме Бернулли с вероятностью успеха .

2. Распределение Пуассона.Говорят, что дискретная случайная величина распределена по закону Пуассона, если она принимает целые неотрицательные значения с вероятностями

,

где – параметр распределения Пуассона.

Распределение Пуассона также называют законом редких событий, так как оно проявляется там, где производится большое число испытаний, в каждом из которых с малой вероятностью происходит «редкое» событие. В соответствии с законом Пуассона распределены, например, число вызовов, поступивших в течение суток на телефонную станцию; число метеоритов, упавших в определенном районе; число распавшихся частиц при радиоактивном распаде вещества.

3. Геометрическое распределение.Рассмотрим схему Бернулли. Пусть – число испытаний до первого «успеха». Тогда – дискретная случайная величина, принимающая значения с вероятностями

,

где .

В этом случае говорят, что дискретная случайная величина распределена согласно геометрическому закону.

Пример 5.1. Игральную кость бросают один раз. Если выпадает четное число очков, игрок выигрывает 8 у.е., если нечетное, но больше одного – проигрывает 1 у.е., если выпадает одно очко – проигрывает 10 у.е. Найти распределение случайной величины Х – величины выигрыша в данной игре.

Решение. Пространство элементарных исходов в данном случае имеет вид , где - выпадение i очков. .

Случайная величина Х может принимать три значения: , , , причем справедливо

, , .

Тогда

, , .

Ряд распределения случайной величины Х представлен в таблице 5.2.

Таблица 5.2

	-10	-1

Найдем функцию распределения случайной величины Х. В силу определения получаем

Графическое изображение распределения случайной величины Х приведено на рис. 8.

рис. 8

Пример 5.2. Производят четыре независимых опыта, в каждом из которых некоторое событие А появляется с вероятностью . Построить ряд распределения случайной величины Х – числа появлений события А в четырех опытах.

Решение. В данной задаче реализуется схема Бернулли. Случайная величина Х распределена по биномиальному закону с параметрами , . Следовательно, закон распределения случайной величины Х примет вид:

Для получения ряда распределения вычислим соответствующие вероятности:

откуда


	0,0016	0,0256	0,1536	0,4096	0,4096

Расчетное задание №8

8.1. Производятся последовательные испытания 5 приборов на надежность. Испытания заканчиваются, если прибор оказался ненадежным. Простроить ряд распределения числа испытаний, если вероятность выдержать испытания для прибора равна 0,9.

8.2. Вероятность того, что автомат при опускании монеты сработает правильно, равна 0,97. Составить закон распределения числа опусканий монет до первой правильной работы автомата.

8.3. У игрока 6 бит. Построить ряд распределения числа неиспользованных бит, если вероятность выбить городок одним броском равна 0,6.

8.4. Производится ряд выстрелов из орудия с вероятностью попадания 0,8. Стрельба ведется до первого попадания, но не свыше 4-х выстрелов. Составить ряд распределения числа производимых выстрелов.

8.5. Имеется 6 заготовок для одной и той же детали. Вероятность изготовления годной детали равна 0,9. Построить ряд распределения числа заготовок, оставшихся после изготовления первой годной детали.

8.6. Стрелок производит 3 выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,4. За каждое попадание стрелку засчитывается 5 очков. Составить ряд распределения числа выбитых очков.

8.7. Предполагая одинаковыми вероятности рождения мальчика и девочки, составить ряд распределения числа мальчиков в семье, имеющей 5 детей.

8.8. В урне 3 красных и 5 белых шаров. Наугад берут 4 шара. Если вынуто не менее 2-х красных шаров, то игрок получает 1рубль, в противном случае – теряет 0,5 рубля. Составить ряд распределения выигрыша при 2-х выниманиях.

8.9. На пути автобуса 4 светофора. Каждый из них с вероятностью 0,5 разрешает дальнейшее движение автобуса. Построить ряд распределения числа светофоров, пройденных автобусом без задержки.

8.10. Охотник, имеющий 4 патрона, стреляет в цель до попадания. Построить ряд распределения числа израсходованных патронов, если вероятность попадания в цель равна 0,25.

8.11. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны 2 детали. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных.

8.12. Производится испытание двух агрегатов. Вероятность того, что агрегат успешно выдержит испытание, равна 0,8. Найти ряд распределения числа агрегатов, успешно выдержавших испытание.

8.13. Производится два выстрела по самолету. Вероятность попадания 0,3. Построить ряд распределения случайной величины числа попаданий в самолет.

8.14. Устройство состоит из двух агрегатов, выходящих из строя с вероятностями 0,1 и 0,15. Составить ряд распределения для случайной величины – числа агрегатов устройства, вышедших из строя.

8.15. В контролируемой детали подвергаются измерениям три размера в трех плоскостях. При каждом из них она оказывается годной с вероятностью 0,5. Для одной детали построить ряд распределения числа годных размеров.

8.16. Из урны, в которой лежат 2 белых и 8 черных шаров, вынимают три шара. Построить ряд распределения для случайной величины – числа вынутых белых шаров.

8.17. Устройство состоит из 3-х независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте.

8.18. В первой партии деталей 12 стандартных и 4 бракованных, во второй – соответственно 10 и 5. Из второй партии наугад перекладывают 3 детали. Составить ряд распределения для случайной величины – числа бракованных деталей в первой партии после перекладывания.

8.19. Известно, что в партии из 20 телефонных аппаратов имеется 5 недействующих. Случайным образом из этой партии взято 4 аппарата. Найти ряд распределения случайной величины числа недействующих аппаратов из выбранных.

8.20. Написать ряд распределения вероятностей для числа переключения передач при двух заездах автомобиля, если вероятность переключения 0,4. Считать, что в одном заезде возможно не более одного переключения.

8.21. Два баскетболиста поочередно забрасывают мяч в корзину до тех пор пока один из них не попадет. Построить ряд распределения случайного числа бросков, производимых каждым из баскетболистов, если вероятность попадания для первого равна 0,4, а для второго – 0,6.

8.22. Опыт состоит из трех независимых бросаний монеты, при каждом из которых герб выпадает с вероятностью 0,5. Построить ряд распределения для случайного числа появлений герба.

8.23. Бросание колец на колышек продолжается до первого попадания. Найти ряд распределения случайного расхода колец, если вероятность попадания от броска к броску не меняется и равна 0,6.

8.24. Найти ряд распределения для числа бомбометаний, если они производятся до первого попадания и вероятность попадания при одном броске равна 0,4.

8.25. Два баскетболиста по очереди бросают мяч в корзину с вероятностью попадания при каждом броске для первого 0,8, для второго – 0,75. Всего производится три броска. Составить законы распределения числа попаданий для каждого игрока, если начинает бросать первый баскетболист.