Решение задачи на геометрическую вероятность

Задача 1: В прямоугольник 5*4 см² вписан круг радиуса 1,5 см. Какова вероятность того, что точка, случайным образом поставленная в прямоугольник, окажется внутри круга? Решение: По определению геометрической вероятности искомая вероятность равна отношению площади круга (в который точка должна попасть) к площади прямоугольника (в которой точка ставится), т.е.

Ответ: 0,353

Задача 2: Какова вероятность Вашей встречи с другом, если вы договорились встретиться в определенном месте, с 12.00 до 13.00 часов и ждете друг друга в течение 5 минут? Решение: Обозначим за х и у время прихода, 0 ≤ х, у ≤ 60 (минут). В прямоугольной системе координат этому условию удовлетворяют точки, лежащие внутри квадрата ОАВС. Друзья встретятся, если между моментами их прихода пройдет не более 5 минут, то есть
y - x < 5, y >0,
x - y < 5, x > y.
Этим неравенствам удовлетворяют точки, лежащие в области G, очерченной красным.

Тогда вероятность встречи равна отношению площадей области G и квадрата, то есть

Ответ: 0,16

Задача 3: На отрезок АВ длины L, брошена точка М так, что любое ее положение на отрезке равновозможно. Найти вероятность того, что меньший из отрезков (АМ или МВ) имеет длину, большую чем L/3. Решение: Используем геометрическое определение вероятности. Разбиваем отрезок AB длины L числовой оси точками X₁, X₂ на 3 одинаковые части (отрезков), каждый из которых имеет длину L/3. Если точка M не попадет в отрезок AX₁ или X₂B, то выполнится условие задачи (меньший из отрезков AM и MB имеет длину, большую L/3). Следовательно, искомая вероятность равна отношению длины центрального отрезка X₁X₂ к длине всего отрезка L:
P=(L/3)/L=1/3.

Ответ: 1/3.