Рассмотрим графическое решение последней задачи.

Практическая работа

Нахождение оптимального решения с помощью СППР Excel

 

 

Теоретическое обоснование

Задачу, независимо от формы постановки, мгновенно решаются в надстройке «Поиск решения» процессора Excel.

Пример.Решить задачу максимизации

 

Решение.

Запускаем лист процессора Excel.

1. Оставляем ячейки Al, A2, A3 за переменными , соответственно.
В ячейке В1 задаем целевую функцию: =al+3*a2+a3.

2. В ячейках Cl, C2 задаем, соответственно, левые части нетривиальных ог­раничений:

=al+4*a2+3*a3

=3*а1-2*а2+а3

3. Открываем диалоговое окно «Поиск решения» и вводим (рис. 4.1) данные:

Рис. 4.1

 

 

Ограничения задаются через кнопку «Добавить», автоматически могут поя­виться знаки $.

4.Щелчок ЛКМ по кнопке «Выполнить» дает (рис. 4.2):

Рис. 4.2

5.Щелчком ЛКМ по кнопке ОК закрываем диалоговое окно «Результаты по­иска решения» и выписываем ответ.

Ответ:(2, 0, 0),min z=2.

Пример.Решить задачу

 

 

Решение.Пусть независимые переменные находятся в ячейках А1, А2, соответственно, целевая функция задана формулой =5+а1+3*а2 в ячейке В1, в ячейке С1 формула =al+a2. Задаем (рис. 4.3) сценарий решения:

 

Рис. 4.3

 

 

Нажатием «Выполнить» получаем (рис. 4.4) результаты:

Рис. 4.4

 

Ответ:(2, 8), max z = 31.

 

Рассмотрим графическое решение последней задачи.

1. В столбце А задаем последовательность значений переменной как
арифметическую прогрессию с первым членом, равным нулю, разностью 0,2, предельным значением 6.

2. В ячейке В1 вводим формулу = 10-а1 и копируем ее в столбец В. Прямые
зададим позже как границы рисунка.

3.Построение линии уровня, соответствующей значению , проводится по таблице значений. Вводим в ячейку С1 формулу =-(5+а1)/3 и копируем ее в столбец С.

4.Выделяем диапазон А1:С31, командами Диаграмма Точечная приходим (рис. 4.5) к рисунку:

Рис. 4.5

5. Уберем на рисунке лишнее. Устанавливаем СКМ на оси X так, чтобы ниже ее появилась надпись Ось X (категорий), и щелкаем ПКМ. Появляется (рис. 4.6) контекстное меню

Рис. 4.6

 

Щелчок ЛКМ по строке «Формат оси» открывает (рис. 4.7) диалоговое окно:

 

 

Рис. 4.7

 

Устанавливаем в нем максимальное значение: 6, нажимаем ОК. Аналогич­ным образом по оси Y задаем максимальное значение: 8.

6. Таким же образом с помощью ПКМ, задается граница области построе­ния и форматируются ряды данных. В результате рис. 4.5 приводится, к виду (рис. 4.8):

 

Рис. 4.8

Из него видно, что точкой выхода линий уровня из многоугольника допусти­мых решений является точка (2, 8).

Если последняя задача имеет канонический вид

(1)

 

то в ячейки B1, C1, C2, С3 соответственно вводятся формулы:

=5+a1+3*a1, =a1+a2+a3, =a1+a4, =a2+a5

Задается (рис. .4.9) следующий сценарий решения:

Рис. 4.9

Результаты поиска решения (рис. 4.10) совпадают с результатами, полученными ранее:

Рис. 4.10

 

 

Индивидуальные варианты заданий

Вариант Задание 1,2 Задание 3, 4
-7x1-6x2-10x3 ≥ -2 -12x1+3x2-14x3 ≥ -9 L(x) = 11x1+6x2+12x3 → max. -7x1-6x2 ≥ -2 -12x1+3x2 ≥ -9 L(x) = 11x1+6x2 → max.
8x1+3x2-12x3 ≤ 7 -x1+6x2+9x3 ≤ 13 L(x) = -10x1-12x2-4x3 → min. 8x1+3x2 ≤ 7 -x1+6x2 ≤ 13 L(x) = -10x1-12x2 → min.
-8x1+13x2≥10 8x1+2х2≤2 L(x)=8x1+4x2→ max. -8x1+13x2≥10 8x1+2х2≤2 L(x)=8x1+4x2→ max.
2x1+3x2+4x3≥15 x1+2x2+3х3≥12 L(x)=-3x1-4х2-3.5х3→ max. 2x1+3x2≥15 x1+2x2≥12 L(x)=-3x1-4х2→ max.
2.5x1+х2≥10 2.8x1+2х2≥8 3x1+5х2≥12 L(x)=4x1+5x2→ min. 2.5x1+х2≥10 2.8x1+2х2≥8 3x1+5х2≥12 L(x)=4x1+5x2→ min.
2x1+3х2+х3≥16 x1+4х2+2х3≥12 x1+5x2+х3≥10 L(x)=2x1+4x2+3x3→ min. 2x1+3х2≥16 x1+4х2≥12 L(x)=2x1+4x2→ min.  
2x1+x2+3x3+2x4≥12 1.5x1+2x2+2х3+x4≥10 L(x)=2x1+3x2+х3+2.5x4→ min. 2x1+x2≥12 1.5x1+2x2≥10 L(x)=2x1+3x2→ min.
8x1-7х2≥3 14x1-6x2≥10 L(x)=4x1+11x2→ min. 8x1-7х2≥3 14x1-6x2≥10 L(x)=4x1+11x2→ min.
-13x1+6x2-13x3-2x4>12 -11x1+9x2+13x3+14x4<-8 L(x)=9x1+8x2+8x3+7x4→ max. -13x1+6x2>12 -11x1+9x2<-8 L(x)=9x1+8x2→ max.
6x1+5x2≥5 -7x1+11x2≥9 -l0x1+5x2 ≥3 L(x)=-8x1-14x2→ max. 6x1+5x2≥5 -7x1+11x2≥9 -l0x1+5x2 ≥3 L(x)=-8x1-14x2→ max.
8x1+8x2≥4 -5x1+9x2≥7 L(x)=11x1+6x2→ max. 8x1+8x2≥4 -5x1+9x2≥7 L(x)=11x1+6x2→ max.
-х1+х2+3х3+х4≤2 x1+x2+x3+x4≥3 L(x)=4x1+10x2+9x3+3x4→ max. -х1+х2≤2 x1+x2≥3 L(x)=4x1+10x2→ max.
3x1-x2-2x3≥1 -2x1-4х2+5х3≤-3 x1-2x2+х3≤-1 L(x)=-4x1-3x2-х3→ max. 3x1-x2≥1 -2x1-4х2≤-3 x1-2x2≤-1 L(x)=-4x1-3x2→ max.
-x1+x2+3х3-x4≤2 x1+x2+х3+3х4≥3 L(x)=4x1+10x2+9x3+3x4→ max. -x1+3х2≤2 x1+х2≥3 L(x)=4x1+9x2→ max.
-x1+x2+3х3-x4≤2 -x1+x2+х3-3x4≥3 L(x)=4x1+10x2+9x3+3x4→ max. 3х1-x2≤2 х1-3x2≥3 L(x)=9x1+3x2→ max.
-8x1+13x2≥10 8x1+2х2≤2 L(x)=8x1+4x2→ max. -8x1+13x2≥10 8x1+2х2≤2 L(x)=8x1+4x2→ max.
2x1+3x2+4x3≥15 x1+2x2+3х3≥12 L(x)=-3x1-4х2-3.5х3→ max. 2x1+3x2≥15 x1+2x2≥12 L(x)=-3x1-4х2→ max.
2.5x1+х2≥10 2.8x1+2х2≥8 3x1+5х2≥12 L(x)=4x1+5x2→ min. 2.5x1+х2≥10 2.8x1+2х2≥8 3x1+5х2≥12 L(x)=4x1+5x2→ min.
2x1+3х2+х3≥16 x1+4х2+2х3≥12 x1+5x2+х3≥10 L(x)=2x1+4x2+3x3→ min. 2x1+3х2≥16 x1+4х2≥12 x1+5x2≥10 L(x)=2x1+4x2→ min.
2x1+x2+3x3+2x4≥12 1.5x1+2x2+2х3+x4≥10 L(x)=2x1+3x2+х3+2.5x4→ min. 2x1+x2≥12 1.5x1+2x2≥10 L(x)=2x1+3x2→ min.
-х1+х2+3х3+х4≤2 x1+x2+x3+x4≥3 L(x)=4x1+10x2+9x3+3x4→ max. -х1+3х2≤2 x1+x2≥3 L(x)=4x1+9x2→ max.
-x1+x2+3х3-x4≤2 x1+x2+х3+3х4≥3 L(x)=4x1+10x2+9x3+3x4→ max. -x1-x2≤2 x1+3х2≥3 L(x)=4x1+3x2→ max.
-x1+x2+3х3-x4≤2 -x1+x2+х3-3x4≥3 L(x)=4x1+10x2+9x3+3x4→ max. 3х1-x2≤2 х1-3x2≥3 L(x)=9x1+3x2→ max.
-8x1+13x2≥10 8x1+2х2≤2 L(x)=8x1+4x2→ max. -8x1+13x2≥10 8x1+2х2≤2 L(x)=8x1+4x2→ max.
2x1+3x2+4x3≥15 x1+2x2+3х3≥12 L(x)=-3x1-4х2-3.5х3→ max. 2x1+3x2≥15 x1+2x2≥12 L(x)=-3x1-4х2→ max.
2.5x1+х2≥10 2.8x1+2х2≥8 3x1+5х2≥12 L(x)=4x1+5x2→ min. 2.5x1+х2≥10 2.8x1+2х2≥8 3x1+5х2≥12 L(x)=4x1+5x2→ min.
2x1+3х2+х3≥16 x1+4х2+2х3≥12 x1+5x2+х3≥10 L(x)=2x1+4x2+3x3→ min. 3х1+х2≥16 4х1+2х2≥12 L(x)=4x1+3x2→ min.  
2x1+x2+3x3+2x4≥12 1.5x1+2x2+2х3+x4≥10 L(x)=2x1+3x2+х3+2.5x4→ min. x1+2x2≥12 2x1+x2≥10 L(x)=3x1+2.5x2→ min.
8x1-7х2≥3 14x1-6x2≥10 L(x)=4x1+11x2→ min. 8x1-7х2≥3 14x1-6x2≥10 L(x)=4x1+11x2→ min.
8x1+8x2≥4 -5x1+9x2≥7 L(x)=11x1+6x2→ max. 8x1+8x2≥4 -5x1+9x2≥7 L(x)=11x1+6x2→ max.

 

Задания:

1. С использованием надстройки «Поиск решения» найти неотрицательные значения переменных, удовлетворяющие системе ограничений, и обращающие в максимум целевую функцию.

2. С использованием надстройки «Поиск решения» найти неотрицательные целые значения переменных, удовлетворяющие системе ограничений.

3. Решить графически систему.

4. Решение задачу симплекс методом и сравнить с результатами, полученными в предыдущих заданиях.

Отчет о лабораторной работе должен содержать:

1. Условие задачи.

2. Описание порядка решения.

3. Графики и диаграммы (если предусмотрено условием задачи).

3. Ответ.

Литература:

1. А.В. Леоненков. Решение задач оптимизации в среде MS Excel. - С.Пб.: БХВ,- 2005.

2. О.А. Сдвижков. Математика в Excel 2002. –М.: СОЛОН-Пресс, 2004.