Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Примером равных множеств может служить множество целых положительных чисел и множество натуральных чисел.

Способы задания множеств:

• перечислением, т.е. списком своих элементов. Списком можно задать лишь конечные множества. Обозначение списка - в фигурных скобках.

Пример

Множество А устройств домашнего компьютера, состоящего из процессорного блока а, а также периферийных устройств В (монитора b, клавиатуры с и принтера d), может быть представлено списком:

А = {а, В} или А = {а, b, с, d};

(Задание типа N = 1,2,3,... - не список, но лишь допустимое условное обозначение.)

• порождающей процедурой, которая описывает способ получения элементов множества из уже полученных элементов либо других объектов. В таком случае элементами множества являются все объекты, которые могут быть построены с помощью такой процедуры.

Пример

Множество всех целых чисел, являющихся степенями двойки М₂ⁿ, nÎN, где N-множество натуральных чисел, (допустимое обозначение М₂ⁿ= 1,2,4,8,16,...) может быть представлено порождающей процедурой, заданной двумя правилами, называемыми рекурсивными, (или индуктивными):

а) 1ÎМ₂ⁿ; б) если тÎМ₂ⁿ ,то 2m ÎМ₂ⁿ;

• описанием характеристических свойств, которыми должны обладать его элементы; обозначается:

М= {х | Р(х)} или М= {х : Р(х)}

(«Множество М состоит из элементов х таких, что х обладает свойством Р»)

Пример

Множество А периферийных устройств персонального компьютера PC может быть определено:

А = {х: х - периферийное устройство персонального компьютера PC}.

Если свойство элементов множества М может быть описано коротким выражением, это упрощает его символьное представление.

Пример

Множество всех натуральных четных чисел М_2п может быть представлено:

М_2п= {x:x = 2n,nÎN}.

Надежным способом точно описать свойство элементов данного множества является задание распознающей (разрешающей)процедуры. Она должна устанавливать для любого объектах, обладает ли он данным свойством Р (и, следовательно, принадлежит множеству) или нет.

Пример

Распознающей процедурой для множества А всех сотрудников фирмы "Квант", имеющих удостоверение фирмы, является проверка его наличия. Тогда множество А может быть представлено более точно: "А - множество всех сотрудников фирмы «Квант», имеющих соответствующее удостоверение фирмы".

Пример

Для описания характеристического свойства элементов множества М₂ⁿ всех целых чисел, являющихся степенями двойки ("быть степенью двойки"), разрешающей процедурой может служить любой метод разложения целых чисел на простые множители. Тогда аÎ М₂ⁿ , если а = 1 или если а = 2 ´ 2 ´ ... ´ 2 = 2ⁿ, п Î N.

Пример

Задать различными способами множество N всех натуральных чисел: 1,2,3,...

ØСписком множество N задать нельзя ввиду его бесконечности.

Порождающая процедура содержит два правила:

а) 1 Î N; б) если nÎN, то (п +1)ÎN.

Описание характеристического свойства элементов множества N:

N= {х: х - целое положительное число}.

Пример

Задать различными способами множество М всех четных чисел 2,4, 6,..., не превышающих 100.

ØМ_2n = {2,4,6,...,100}.

а)2ÎМ_2n; б) если nÎN, то (n+2)ÎM_2n; в)n£98.

М_2п= {п: п - целое положительное число, не превышающее 100} или М_2п = {п: п ÎN,

n/2 Î N, п £ 100}.

Пример

Пусть U= {a, b, с}. Определить в явном виде (перечислением своих элементов) булеан Р(b) - множество всех подмножеств, состоящих из элементов множества U. Какова мощность множества Р(b) ?

ØР(b)= {0, {а}, {b}, {с}, {а, b}, {а, с}, {b, с}, {а, b, с}}. Мощность |P(b)| = 8.