Диаграммы Эйлера-Венна, таблицы вхождения элементов, координатная плоскость.
Для наглядного представления (графического изображения) множеств и результатов операций над ними удобно пользоваться так называемыми диаграммами Эйлера-Венна (кругами Эйлера).
При этом множества изображаются на плоскости в виде замкнутых кругов, а универсальное множество в виде прямоугольника. Элементы множества – точки внутри соответствующего круга.
Таблица 2.4.1.
Объединение А  В:
| Пересечение А∩В:
|
| Разность: А\В
| Разность: В\А
|
| Симметричная разность А∆В:
| Дополнение А’:
|
Примеры:Изобразить следующие множество с помощью диаграммы Венна
1) (АUВ)\(С∩А):
Таблица 2.4.2.
| 1)(АUВ)
| 2) (С∩А)
|
| 3) (АUВ)\(С∩А)
|
2) А∩В∩С;
| а) А∩В
| б) А∩В∩С
|
3) В\(АUС);
| а) АUС
| б) В\(АUС)
|
4) (ВΔА)\С.
| а) ВΔА
| б) (ВΔА)\С
|
5) Выразить через множества А,В,С множество Е, которому соответствует заштрихованная область.
| 1. А∩В
| 2. В∩С
| 3.(А∩В)U(В∩С)
|
Есть и другой способ проиллюстрировать операции над множествами. Это, так называемая, таблица вхождения элементов в множества, в которой рассматриваются все возможные случаи вхождения выбранного элемента в множества А и В и их комбинации. Результат принадлежности этого элемента множествам А и В отмечают в первых двух столбцах таблицы по правилу: 1 – если элемент входит в данное множество, 0 – если не входит. Получится четыре случая или четыре строчки в таблице. Столбцы, соответствующие операциям A U B, A ∩ B, A \ B, заполняются согласно определений этих операций (табл. 1).
Например, вторая строка в табл. 1 читается так: если элемент входит в A, но не входит в B, то он входит в А U В, не входит в А ∩ В, но входит в A\B.
Примеры. 1) С помощью таблицы вхождения элементов определите верно ли следующее равенство (АUВ)’= А’∩В’
Из таблицы вхождения элементов в множества видно, что при различных вариантах вхождения элемента в множества А, В он входит или не входит в левую и правую части рассматриваемого равенства одновременно (см. четвертый и седьмой столбцы). Значит (АUВ)’= А’∩В’.
2) С помощью таблицы вхождения элементов определите верно ли следующее равенство ( В UС) \ В = С.
Второй и четвертый столбцы не совпадают, поэтому это равенство неверное.
На координатной прямой множества изображаются в виде отрезка, концы которого показываются кружками: закрашенным кружком, если координата конца отрезка принадлежит множеству, в противном случае – не закрашенным кружком. Например, множество A = {x : − 2 < x ≤ 3} на координатной прямой можно показать так:
| -2 |
| А |
Примеры: Даны множества:
1) A = {x: − 5 ≤ x ≤ 6}, B = {x: − 3 < x < 8},
2) A = {х : −3 < х ≤ 2} и B = {х : 0 ≤ х < 5},
3) C = {х : 2 < х < 4} и D = {х : 3 ≤ х ≤ 5},
4) E = {х : −3 ≤ х ≤ 2} и F = {х : 2 < х ≤ 5}.
Найдите пересечения множеств и покажите их на координатной прямой.
Решение:
1)Изобразим на координатной прямой множества А и В:
| -3 |
| А |
| -5 |
| В |
-3ÏВ, значит, пересечению множеств Аи Вбудут принадлежать все точки полуинтервала (-3, 6].
| -3 |
| А |
| -5 |
| В |
| А∩В |
Зададим его с помощью характеристического свойства: A∩ B = {х : -3 < х ≤ 6}.
2) Изобразим на координатной прямой данные множества:
| -3 |
| А |
| В |
| -3 |
| А |
| В |
| А∩В |
Зададим его с помощью характеристического свойства: A∩ B = {х : 0 ≤ х ≤ 2}.
| D |
| С |
4ÏC, значит, пересечению множеств С и D будут принадлежать все точки полуинтервала [3, 4), точка 4 пересечению принадлежать не будет, т.е. C ∩ D = {х : 3 ≤ х < 4}.
| D |
| С |
| С∩D |
| -3 |
| F |
| Е |
Видим, что и 2ÏF , т.е. множества Е и F не имеют общих элементов, значит, E ∩ F = Æ.
5) G = {х : −3 ≤ х < 5} и S = {х : 3 ≤ х < 10}. На координатной прямой изобразить разность множеств G и S и разность множеств S и G.
Решение: Изобразим на координатной прямой множества G и S :
| -3 |
| S |
| G |
Так как 3ÎG и 3ÎS, то 3ÏG\S. Значит, G\S= {-3≤ х <3}, S\G={5≤ х< 10}:
| -3 |
| S\G |
| G\S |