Вычитание множеств. Дополнение подмножества
Чтобы объяснить учащимся, что 5-3=2, часто используют такой прием. Берут 5 предметов, например, 5 кружков. После того как учащиеся убедятся при помощи счета, что кружков действительно 5, им предлагают 3 кружка убрать и сосчитать, сколько кружков осталось. Осталось 2, значит, 5-3=2.
В чем суть приема? Из данного множества, в котором а элементов, удаляют подмножество, содержащее b элементов. Тогда в оставшейся части множества а – b элементов.
Если заданы два множества, то можно не только найти их пересечение и объединение, но и вычесть из одного множества другое. Результат вычитания называют разностью и определяют следующим образом.
Определение.Разностью множеств А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.
Разность множеств А и В обозначают А \ В. Тогда, по определению, имеем:
А \ В ={ х | х Î A и х Ï B }.
Если представить множества А и В при помощи кругов Эйлера, то разность А \ В изобразиться заштрихованной областью.
В школьном курсе математики чаще всего приходится выполнять вычитание множеств в случае, когда одно из них является подмножеством другого, при этом разность множеств А \ В называют дополнением множества В до множества А,и обозначают символом ВА.
При помощи кругов Эйлера данная ситуация представляется на рисунке, где заштрихована та часть, которая осталась после удаления из множества А подмножества В. Эту часть называют дополнением множества В до множества А.
Определение.Пусть ВÌ А. Дополнением множества В до множества А называется множество, содержащее только те элементы множества А, которые не принадлежат множеству В.
ВА ={ х| х Î A и х Ï B }.
Дополнение множества В до множества А ( при условии, что В Ì А) обозначают ВА = А \ В.
Операция при помощи которой находят дополнение подмножества, называется вычитанием.
Нахождение подмножества в конкретных случаях:
· Если элементы множества А и В пересечены, то, чтобы найти А \ В, достаточно перечислить элементы, принадлежащие А и не принадлежащие В.
Пример. А = {1, 2, 3, 5}, а B={1, 5}, то А \ В = {2,3}.
· Если указаны характеристические свойства элементов множеств А и В (ВÌА), характеристическое свойство множества А \ В имеет вид «х ÎA и х ÏB».
Пример. А – множество четных чисел, В – множество чисел, кратных 4. Найти дополнение множества В до множества А. Определить, содержатся ли в этом дополнении числа 20 и 26.
Так как, все числа кратные 4, четные, то В Ì А. Если из множества А удалить все числа, кратные 4, то в нем останутся четные числа, не кратные 4. Значит, А \ В – множество четных чисел, не кратных 4. Характеристическое свойство элементов этого множества – «быть четным числом и не кратным 4».
Нетрудно видеть, что 20 Ï А \ В, поскольку 20 – четное число и кратно 4, а что 26 Î А \ В, т.к. 26 – четное число и не кратно 4.
Пример. Выясним теперь, из каких чисел состоит множество А \ В Ç С, если А – множество четных чисел, В – множество чисел, кратных 4, С – множество чисел, кратных 6.
В записи А \ В Ç С нет скобок. Возникает вопрос: какое действие выполнять первым? Условились считать, что операция пересечения множеств является более «сильной», чем вычитание.
Пересечением множеств В и С состоит из чисел, кратных 4 и 6. Если удалить это пересечение из множества А, то в нем останутся четные числа, не кратные 4 и 6 (одновременно). При помощи кругов Эйлера данные множества А, В, и С можно изобразить так:
Замечание. Вычитание – это третья операция над множествами. Условимся считать, что пересечение – более «сильная» операция, чем вычитание. Поэтому порядок выполнения действий будет такой: сначала находят пересечение множеств, а затем вычитание.