Доказательство.

ЛЕКЦИЯ 1.2.

Свойства операций над множествами

Пусть Каковы бы ни были заданные подмножества универсума U, справедливы соотношения

1. Идемпотентность.

2. Коммутативность.

3. Ассоциативность.

Дистрибутивность.

2. Законы поглощения.

3. Свойства нуля.

4. Свойства единицы.

5. Инволютивность.

6. Законы де Моргана.

10. Свойства дополнения.

Доказательство этих равенств большей частью совершенно элементарно. Построим доказательства одного из законов дистрибутивности и одного из законов де Моргана.

Утверждение. .

Доказательство.

.

Пусть Þ

.

.

Утверждение. .

Доказательство.

 

, .

Законы коммутативности и ассоциативности легко распространяются на случай объединения (пересечения) любого конечного числа множеств. Именно, в какой бы последовательности не объединялись (пересекались) данные множества , в результате получится одно и тоже множество, которое обозначается . Объединение состоит из тех и только тех элементов, которые входят хотя бы в одно из данных множеств (пересечение содержит те и только те элементы, которые входят во все множества одновременно).

Запишем обобщение законов дистрибутивности и де Моргана

Доказательство проводится, например, методом математической индукции.