Объемная деформация тела в точке

Под объемной деформацией тела в точке (eV) будем понимать отношение изменения (вследствие деформации) объема элементарного параллелепипеда, выделенного в окрестности исследуемой точки, к его первоначальному объему

, (3.20)

где - начальный объем элементарного параллелепипеда и объем после деформации.

Рассмотрим элементарный параллелепипед, выделенный главными площадками, с длиной сторон dS1, dS2, dS3 (рис.3.19).

 

Рис.3.19

Начальный объем параллелепипеда равен . Учитывая, что длина элемента в i главном направлении (i = 1, 2, 3) после деформации составляет , объем элемента после деформации будет равен

.

Подставляя полученные выражения элементарных объемов в формулу (20), получим

Поскольку деформации малы (для реальных материалов в пределах закона Гука ei ~ 10-4-10-3), величинами второго и третьего порядков малости пренебрегаем. Тогда будем иметь

, (3.21)

т.е. объемная деформация тела в точке равна сумме линейных деформаций в этой точке.

Подставим в (3.21) выражение для ei из закона Гука

Окончательно получим

. (3.22)

Используя свойство инвариантности (3.13), формулу (3.22) можно записать в виде

. (3.23)

Из (3.22) и (3.23) следует:

1) у изотропного материала maxn = 0,5; в противном случае, согласно этим формулам, будет получаться физически абсурдный результат;

2) при n = 0,5 изменение объема тела при деформации не происходит; материал в этом случае называется несжимаемым (к несжимаемым материалам близок каучук).

Изменение объема тела определяется по формуле

. (3.24)

При однородном напряженно-деформированном состоянии eV=const и формула (24) существенно упрощается

. (3.25)