Квадратура круга, удвоение куба, трисекция угла, теорема Ферма, проблема четырех красок.

В задаче о квадратуре кругатребуется построить циркулем и линейкой квадрат, равновеликий данному кругу.
Вероятно, задача была известна уже за две тысячи лет до н. э. в Древнем Египте и Вавилоне. Но первая прямая ссылка на неё относится к V в. до н. э. По свидетельству древнегреческого историка Плутарха, философ Анаксагор, коротая время в тюрьме, пытался квадрировать круг, т. е. превратить его в равновеликий квадрат. Если считать радиус данного круга равным 1, то сторона искомого квадрата должна составить квадратный корень из числа пи. Надежды «квадратурщиков» подогревались существованием криволинейных фигур, квадрируемых циркулем и линейкой. Гиппократ Хиосский нашел одну из таких фигур, известную как «луночки Гиппократа». Он нашёл и другие луночки, допускающие квадратуру, что, конечно, не помогло ему решить саму исходную задачу. Было предложено множество построений. В лучшем случае они давали приближённое значение числа пи с достаточно хорошей точностью. Однако, в отличие от приведённых выше решений двух других знаменитых задач, эти построения были принципиально приближёнными. Впрочем, авторы таких построений часто не сомневались в их абсолютной точности и горячо отстаивали свои заблуждения. Один из самых громких споров на эту тему произошёл в Англии между двумя выдающимися учёными XVII в. — философом Томасом Гоббсом и математиком Джоном Валлисом. В весьма почтенном возрасте Гоббс опубликовал около десяти «решений» задачи о квадратуре круга.
Итак, задача о квадратуре круга оказалась наиболее сложной из трех. Метод, использованный в двух других задачах, здесь не подошёл, так как число пи имеет совершенно другую природу, чем 2^1/3 или корни уравнений, к которым сводится трисекция. Только к 1822 г. Фердинанд Линдеман доказал, что число пи трансцендентно, т. е. не является корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами. Значит, оно и не квадратично-иррационально, поскольку в противном случае было бы корнем какого-либо многочлена.
Так Линдеман наконец поставил точку в проблеме разрешимости посредством циркули и линейки последней из трёх классических задач древности.