Б) Квартили

Квартилипредставляют собой значения признака, делящие упорядоченную по возрастанию совокупность на четыре равные по количеству элементов части.

Различают квартиль первого порядка (нижний квартиль) ,квартиль второго порядка (совпадает с медианой) ,квартиль третьего порядка (верхний квартиль) . Первый (нижний) квартиль отсекает от совокупности ¼ часть единиц с минимальными значениями, а третий (верхний) отсекает ¼ часть единиц с максимальными значениями, второй квартиль является медианой.

Для расчёта квартилейможно поделить вариационный ряд медианой на две равные части, а затем в каждой из них найти медиану.

К примеру, если выборка состоит из 6 элементов, тогда за начальную квартиль выборки принимается второй элемент, а за нижнюю квартиль пятый элемент.

1 квар тиль

2 квартиль

медиана

 

В случае, если вариационный ряд состоит к примеру, из 9 элементов, тогда за верхнюю квартиль принимают арифметическое среднее 2-го и 3-го элементов, а за нижнюю арифметическоесреднее 7-го и 8-го элементов.

 

медиана

1 квартиль 3 квартиль

 

Расчет квартилей для дискретного ряда:

1. В дискретном ряду сначала определяют номера квартилей:

номер 1-го квартиля

позиция 3-го квартиля

2. Если номер квартиля– целое число, то значение квартиля будет равно величине элемента ряда, которое обладает накопленной частотой равной номеру квартиля. Например, номер квартиля равен 20, его значение будет равно значению признака с S =20 (накопленной частотой равной 20).

Если номер квартиля – нецелое число, то квартилем будет условное число между двумя наблюдениями. Значением квартиля будет сумма, состоящая из значения элемента, для которого накопленная частота равна целому значению номера квартиля, и указанной части (нецелая часть номера квартиля) разности между значением этого элемента и значением следующего элемента.

Например, если номер квартиля равна 20,25, квартиль попадает между 20-м и 21-м наблюдениями, и его значение будет равно значению 20-го наблюдения плюс 1/4 (0,25) разности между значением 20-го и 21-го наблюдений.

 

Пример. Найти третий квартиль

Заработная плата рабочего, тыс.руб;

1) Определяем номер 3-го квартиля

для первой бригады ;

для второй бригады ,75;

2) Для первой бригады номер квартиля – целое число. Следовательно, нужно найти элемент совокупности, для которого накопленная частота S равна номеру квартиля. Для этого определяем самую первую накопленную частоту, которая больше или равна номеру квартиля. Это накопленная частота второго значения признака Хi=18, Si=57.
Определяем значение третьего квартиля для первой бригады :Q₃ = x₅₇ = 18 тыс.руб.

Это значит, что заработная плата 75% рабочих 1-ой бригады менее 18 тыс.руб

 

3) Номер квартиля для второй бригады - нецелое число. Для определения квартиля нужны значения двух элементов – х₅₇ и х₅₈. Значение квартиля находится между ними.
Определяем их значение с помощью самой первой накопленной частоты большей или равной порядковым номерам элементов (57 и 58). Х₅₇= 18, х₅₈= 20.
Теперь определяем значение 3-го квартиля для второй бригады:
Q₃= х₅₇ + (х₅₈ – х₅₇)×0,75 = 18 + (20– 18)×0,75 = 19,5 тыс. руб.

Это значит, что заработная плата 75% рабочих второй бригады менее 19,5 тыс.руб.

 

 

Расчет квартилей для интервального ряда:

Для расчета квартилей для интервального ряда

1. Определяем номер квартиля по тем же формулам, что и для дискретного ряда,

2. Определяем квартильный интервал по накопленной частоте. Это первый интервал, для которого накопленная частота будет больше или равна номеру квартиля.

3. Рассчитываем квартиль по формуле:

Где:

J – номер квартиля,

- нижняя граница интервала, содержащего квартиль. Интервал определяется по накопленной частоте интервалов,

- ширина интервала, содержащего квартиль,

- накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содержащему квартиль,

- частота интервала, содержащего квартиль.

 

 

Пример. Найти первый квартиль для интервального ряда.

Возрастные группы	Число студентовf	Накопленная частота S
До 20 лет
20 — 25
25 — 30
30 — 35
35 — 40
40 — 45
45 лет и более
Итого

Решение:

1. Определяем номер первого квартиля по формуле

2. Первый квартиль находится в возрастной группе 20-25 лет, так как это первый интервал, для которого накопленная частота больше (или равна) номера квартиля (346<865,75; 1218>865,75).

3. Определяем первый квартиль по формуле

4.

Это значит, что четверть студентов младше 22,98 лет.