Векторы на плоскости и в пространстве.
Лекция 3. Векторы. Системы линейных уравнений.
Векторы
Цельизучения темы состоит в обобщении понятия вектора, с которым студенты знакомы по школьной программе и расширение ее систематического кругозора.
Векторы на плоскости и в пространстве.
Вектор– это направленный отрезок 
. Точка А – начало вектора, точка В – конец вектора (рис. 3.1.1). Можно использовать обозначение 
.
Длиной (модулем) вектора называется число, равное длине вектора. Обозначается модуль вектора символом 
или 
. Если модуль вектора 
, вектор называется нулевым; направление нулевого вектора произвольно.
Два вектора называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой (или лежат на одной прямой), в этом случае пишут 
. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.
Два вектора равны, то есть 
, если выполняется три условия: 
; 
и 
и 
одинаково направлены.
Произведением вектора ā на число (скаляр) λ называется вектор 
, удовлетворяющий следующим условиям: 
, векторы и сонаправлены, если 
и направлены в противоположные стороны, если 
. Если 
, вектор 
называется противоположным вектору .
Таким образом, условие 
является достаточным для коллинеарности вектором 
и 
;
Сложение векторов. Суммой двух векторов и называется вектор 
, начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора при условии, что начало вектора совпадает с концом вектора (правило треугольника) (см. рис. 3.1.2).
Так как вектор 
, то для получения суммы двухвекторов можно использовать правило параллелограмма: суммой двух векторов 
является вектор-диагональ параллелограмма, построенного на векторах и , выходящий их общего начала обоих векторов-слагаемых.
Сумма нескольких векторов находится по правилу многоугольника: чтобы найти сумму нескольких векторов 
,нужно последовательно совместить начало следующего вектора-слагаемого с концом предыдущего; тогда вектор, проведенный из начала первого вектора в конец последнего называется суммой всех данных векторов (рис. 3.1.3).
Разностьюдвух векторов 
называется сумма 
. Если вектор 
, то по аналогии с суммой двух векторов этот вектор является диагональю параллелепипеда, построенного на трех векторах как на сторонах (рис. 3.1.4).
Рассмотрим вектор в плоскости. Перенесем в начало координат системы хОу.
Получим вектор 
. Координатами вектора 
называются координаты точки М(х;у). Введем на осях координат векторы i и j – единичной длины (рис. 3.1.5).
Очевидно, или 
или 
. Если вектор рассматривается в трехмерном пространстве, где точка М характеризуется тремя координатами, то есть M(x,y,z), то вектор можно представить в виде:
xi 
yj zk, (3.1.1)
где i, j, k – единичные векторы, лежащие на осях координат. Пусть 
, 
. Найдем сумму и разность этих векторов:
(3.1.2)
или 
Сложение векторов и умножение вектора на скаляр подчиняется следующим свойствам:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
.
Доказательства вытекают на основании (3.1.2).
Определение. Скалярным произведением векторов и называется число 
равно произведению модулей этих векторов на косинус угла φ между ними, то есть 
. (3.1.3)
Из (3.1.3) вытекают свойства скалярного произведения:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) если 
, то 
.
Используя свойства скалярного произведения, можно найти скалярное произведение двух векторов в координатной форме. Если , , то 
; если 
- условие перпендикулярности векторов.
Если векторы коллинеарны, то есть 
, то 
- условие коллинеарности векторов.
Понятие n-мерного вектора. Векторное пространство. Линейная комбинация и линейная зависимость векторов.
Понятие вектора можно обобщить. 
Определение. n-мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел, записываемых в виде Х=(х1, х2,…, хn), хi – компоненты вектора Х.
Понятие n-мерного вектора широко используется в экономике. Например, некоторый набор товаров можно охарактеризовать вектором 
, а соответствующие цены – вектором 
.
Два n-мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты: 
, 
.
По аналогии с геометрическими векторами вводятся: сумма векторов 
с компонентами 
, ; разность векторов 
с компонентами 
, , с теми же свойствами.
Скалярное произведение n-мерных векторов:
.
Если X 
- набор товаров, а Y 
- соответствует ценам за единицу каждого товара, то стоимость всем товаров:
.
Определение.Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения (вычитания) и умножения вектора на скаляр, удовлетворяющего приведенным выше свойствам называется векторным пространством.
Определение.Вектор 
называется линейной комбинацией векторов 
векторного пространства, если
, (3.1.4)
где 
- любые действительные числа.
Определение. Векторы 
называются линейно зависимыми, если существуют такие числа 
, не равные одновременно нулю, что линейная комбинация 
.
В противном случае векторы 
( 
) называются линейно независимыми.
Если векторы линейно зависимы, то хотя бы один из них линейно выражается через остальные. Покажем это. Пусть векторы ( ) линейно зависимы, то есть
и 
, тогда
Верно и обратное утверждение: если один из векторов выражается через остальные, то все векторы в совокупности линейно зависимы.
Для векторного пространства имеет место следующее свойство: если среди m векторов какая-то часть векторов являются линейно зависимыми, то все m векторов линейно зависимы.
Определение.Векторное пространство называется n-мерным, если в нем существует ровно n линейно независимых векторов, а любые из ( 
) векторов уже линейно зависимы. Это число n называется размерностью пространства.
Определение.Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного векторного пространства называется базисом.
Для базисных векторов принято обозначение 
.
Справедлива следующая теорема.
Теорема. Каждый вектор Х векторного пространства можно представить, причем единственным образом, как линейную комбинацию базисных векторов 
, то есть 
. ( 3.1.5)
Доказательство.Пусть векторы образуют некоторый базис n-мерного пространства. Тогда с любым вектором добавленным ( )-м вектором Х получаем совокупность линейно зависимых векторов. Это означает, что 
( 
), следовательно
Обозначим 
, откуда 
, что и требовалось доказать. Можно доказать, что полученное разложение является единственным.
Пример. Даны векторы е1 
, е2 
, е3 
, 
. Разложить вектор по базисным векторам 
: запишем разложение вектора 
. Перейдем к координатной форме
Перейдем к системе уравнений
Решив систему любым методом (например, методом Крамера), получим ее решение: 
, 
, 
. Разложение вектора по базису имеет вид 
.