Принципы построения математической модели

 

Будем рассматривать устройства, построенные на дискретных R, L, C, элементах, а так же активных приборах.

Проанализировать устройство - это значит, по заданной схеме и входному воздействию найти выходной отклик. Результатом анализа являются найденные напряжения во всех узлах схемы и токи во всех ее ветвях. Прежде чем приступать к анализу устройства необходимо построить его математическую модель, а затем описать ее с помощью математических уравнений, связывающих токи и напряжения. Математическая модель строится на основе базовых элементов математических моделей. Связь между токами и напряжениями для базовых элементов математических моделей рассмотрена на первой лекции. Модели активных приборов строятся с помощью управляемых источников тока и напряжения. Так, например, простейшая модель операционного усилителя может быть построена с помощью источника тока, управляемого напряжением рис.3.1.

 

 

 

Рис. 3.1.

 

, .

В качестве независимых источников используются независимые источники тока и напряжения, эквивалентные схемы которых изображены на рис.3.2.а.б.

 

а) б)

 

 

Рис.3.2.

 

 

3.2 Линейные цепи.

При анализе линейных цепей будем использовать метод узловых потенциалов и первый закон Кирхгофа, который гласит, что сумма токов ветвей, образующих данный узел равна нулю.

Метод узловых потенциалов заключается в следующем:

1. Нумеруются все узлы схемы.

2. Токи в ветвях схемы выражаются через узловые напряжения.

3. Записывается первый закон Кирхгофа для каждого узла.

Так как число узлов схемы n равно числу узловых напряжений, то получается n уравнений для n неизвестных узловых напряжений.

Рассмотрим пример линейной цепи, изображенный на рис.3.3

 

 

 

Рис.3.3

 

Опишем ее с помощью системы алгебраических уравнений по методу узловых потенциалов

Y1 U1 + Y12(U1 – U2) + Y13(U1 – U3) = I1

Y2 U2 + Y12(U2 – U1) + Y23(U2 – U3) = 0

Y3 U3 +Y13(U3 – U1) + Y23(U3 – U2) = 0

Преобразуем эту систему

(Y1 +Y12 +Y13)U1 –Y12 U2 - Y13 U3 = I1

- Y12 U1+(Y2 +Y12 +Y23)U2 –Y23 U3 = 0

-Y13 U1-Y23 U2+(Y3 +Y13 +Y23)U3 = 0

Запишем матрицу Y

 

	Y1 +Y12 + Y13	- Y12	- Y13
Y =	- Y12	Y2 +Y12 + Y23	- Y23
	- Y13	-Y23	Y3 +Y13 + Y23

 

Тогда систему уравнений можно записать в матричном виде

Y U = I ,

 

 

Где U1 I1

U = U2 , = 0 .

U3 0

 

 

Матрица Y строится по следующему правилу

1. Проводимости, связывающие данный узел i с землей записываются со знаком плюс на главной диагонали в ячейке с номером i.

2. Проводимости, связывающие узел i с узлом j записываются со знаком плюс на главной диагонали в ячейках i i и j j и со знаком минус в ячейках ij и ji.

С помощью этого правила можно легко построить матрицу Y и записать уравнение в матричном виде.

В общем случае проводимости Y являются частотно-зависимыми Y=Y(jω), т.к. линейная цепь может содержать реактивные элементы, поэтому здесь речь идет о частотном анализе.