Z-преобразование
Z – преобразование является одним из математических методов анализа и проектирования дискретных систем.
Аппарат z-преобразования играет для цифровых систем ту же роль, что и преобразование Лапласа для непрерывных систем.
Мотивировку использования z-преобразования для исследования дискретных систем можно пояснить на примере преобразования Лапласа квантованного сигнала. Если выходной сигнал идеального импульсного элемента fd(t) определен как
(7.1),
то преобразование Лапласа для fd(t) определяется выражением
(7.2).
выражение для Fd(p) не является рациональной функцией относительно p, поскольку содержит множитель e-Tp. Для упрощения анализа желательно преобразовать иррациональную функцию Fd(p) в рациональную посредством замены комплексной переменной p на другую комплексную переменную z. Выбор такой замены очевиден
(7.3).
При этом обратное соотношение имеет вид
(7.4).
В этих выражениях T – период квантования, z – комплексная переменная, действительная и мнимая части которой определяются как
(7.5),
где
(7.6).
Подставляя новую переменную z в выражение (7.2) получим
(7.7),
что является рациональной функцией относительно z.
Выражение (7.7) называется z-преобразованием функции f(t).