Варинт 5

21.04.2011

 

С1. Диагонали выпуклого четырёхугольника взаимно перпендикулярны, и отношение их длин равно 5 : 12. Один из отрезков, соединяющих середины противоположных сторон равен 26 см. Найдите площадь четырёхугольника.

 

Решение:

Соединим середины сторон четырёхугольника ABCD. Получившийся четырёхугольник FGHE будет являться параллелограммом, а в силу того, что BD перпендикулярно АС, ещё и прямоугольником. Отрезки GE и FH – диагонали прямоугольника, следовательно, они равны между собой. FE составляет половину BD, а ЕН – половину АС, значит их отношение тоже равно 5 : 12. По теореме Пифагора: ; . Следовательно ; . Поскольку они взаимно перпендикулярны, то кв.ед

Ответ: площадь ABCD равна 480 кв.ед.

С2. В четырёхугольнике ABCD АВ = 12; sin ВАС = 0,32; sin ADB = 0,48. Сумма углов BAD и BCD равна 180°. Найдите длину стороны ВС.

Решение: В четырёхугольнике ABCD сумма противоположных углов составляет развёрнутый, следовательно, вокруг ABCD можно описать окружность. При этом углы ADB и АСВ опираются на одну дугу АВ, следовательно, они равны.

Рассмотрим треугольник АВС. Согласно теореме синусов: . Подставим известные величины: . Отсюда ВС = 8.

Ответ: 8.

С3. Известно, что прямая проходит через центр окружности и точку пересечения этой окружности с осью абсцисс. Запишите уравнение этой прямой.

Решение:

Заметим, что таких прямых две, поскольку окружность пересекает ось абсцисс в двух точках – А и В. Найдём их координаты. Ординаты этих точек равны нулю. Следовательно абсциссы являются корнями уравнения . То есть:

.

Прямая , то есть: .

Прямая , то есть: .