II. На использование формул для перестановок и размещений
1.Сколько слов можно образовать из букв слова фрагмент, если слова должны состоять:
(а) из восьми букв, (б) из семи букв, (в) из трех букв?
Решение задачи:
В слове фрагмент 8 букв алфавита.
(а) Всевозможные перестановки 8 букв по восьми местам: А 
= 
=P8.
(б) Размещения 8 букв по 7 местам: А 
.
(в) Размещения 8 букв по 3 местам: А 
.
Ответ: P8, А , А .
2.Сколько существует различных автомобильных номеров, которые состоят из пяти цифр, а) если первая из них не равна нулю; б) если номер состоит из одной буквы латинского алфавита, за которой следуют четыре цифры, отличные от нуля?
Решение задачи:
а) Всего существует 10 цифр. На первом месте не может быть цифры 0, поэтому способов поставить цифру на первое место существует 9. На втором месте может стоять любая из 10-ти цифр (цифры могут повторяться), т.е. способов поставить цифру на второе место существует 10, и т.д. Используя принцип умножения, получаем: 9 
10 
10 10 10 = 9 104 =9 Ã 
.
б) На первом месте может стоять любая из 26 букв. На остальных местах - любые из девяти цифр, причем они могут повторяться. Используя принцип умножения, получаем: 26 9 9 9 9=26 Ã 
.
Ответ: 9 Ã , 26 Ã .
3.Сколькими способами можно расставить на полке семь книг, если (а) две определенные книги должны всегда стоять рядом, (б) эти две книги не должны стоять рядом?
Решение задачи:
(а) Книги, которые должны стоять рядом, считаем за одну книгу. Тогда нужно расставить 6 книг по шести местам. Применяя формулу перестановок, получаем: P6 = 6!. Мы учли перестановки шести книг, не учитывая порядок внутри тех книг, которые мы посчитали за одну. А так как две книги по двум местам можно разместить только двумя способами (P2), то получаем окончательно следующее произведение: P2 P6 =2 6! = 1440.
(б) Способов переставить 6 книг существует P6= 6!. Из них ‑ 2 5! способов поставить определенные книги вместе. Следовательно, способов поставить книги так, чтобы 2 заданные книги не стояли вместе существует: 6! ‑ 2 5!.
Ответ: 1440; . 7! ‑ 2 6!