МАТЕМАТИКА ЕВРОПЕЙСКОГО СРЕДНЕВЕКОВЬЯ И ЭПОХИ ВОЗРОЖДЕНИЯ

 

Пути развития математики в Европе в V—XV вв. На европейском континенте математика не имеет столь древнего происхождения, как во многих странах Ближнего и Дальнего Востока. Если не считать математики римлян (о которой мы не будем специально говорить из-за недостатка места и времени, а также слабого уровня научно-теоретического развития и влияния на последующее развитие математики), то заметные успехи европейской математики появились только в эпоху развитого средневековья и особенно Возрождения.

Наступление эпохи средних веков в Европе, или эпохи феодализма, относят к V в. н. э., к тому

времени, когда пала западная Римская империя. В течение V—X вв. происходит длительный процесс становления феодальных отношений в Европе, раздробленной на множество владений. Экономика этих владений имеет натуральный характер, обмен весьма слаб. На XI—XIV вв. падает пора расцвета феодализма. В это время происходит разделение труда между городом и деревней, ремеслом и земледелием. Растут города и развиваются товарно-денежные отношения. В XII—XV вв. в борьбе и войнах складываются национальные государства. В XIV в. феодальный мир потрясают крестьянские войны, в которых за религиозной окраской нетрудно разглядеть их антифеодальную сущность. В XV—XVIII вв. происходит созревание в недрах феодализма капиталистических отношений и разложение феодального уклада. Начало этого последнего периода, т. е. XV и XVI вв., в культурном и идеологическом развитии ряда стран Западной и Центральной Европы известно под именем Возрождения. Техника средневековой Европы, вначале примитивная и разобщенная, приобретает к концу этого периода массовый характер, а уровень технических достижений быстро повышается.

Вот несколько примеров. Добыча руд и металлургия, начатая в VIII в., набирала силу в течение четырех веков и в XII в. превратилась в заметную область европейской промышленности.

В том же веке были открыты свойства магнитной стрелки. Около 1000 г. появилось стекло, но шлифовка и амальгамирование стекла в связи с производством очков, зеркал, подзорных труб были

введены лишь в XIV в. Около 1100 г. изобретены часы с колесным, позднее колесно-пружинным механизмом, а через 100 лет — часы с боем. Бумага стала входить в обиход в Европе с XII в., а книгопечатание было изобретено лишь в середине XV в. В период XIII—XIV вв. все шире стал применяться порох. Эти примеры показывают, что технические достижения европейских народов, вначале слабые и редкие, накапливаются и создают условия для ускорения технического прогресса и для смены всей системы экономических, политических, научных и культурных отношений и воззрений.

Аналогичную картину вначале очень замедленного, затем все более ускоряющегося развития и, наконец, коренного, революционного преобразования представляют естествознание и математика в средневековой Европе. Действительно, в V—XI вв. уровень математических знаний в Европе был весьма низким. Сколько-нибудь крупных математических открытий или сочинений не удается обнаружить. Даже образованные люди редки. По-видимому, единственными хранителями математических знаний, превышавших обычные бытовые запросы, были немногочисленные ученые-монахи, хранившие, изучавшие и переписывавшие естественнонаучные и математические сочинения древних. Мертвящее влияние церкви накладывало сильнейший отпечаток схоластики и на эти

островки знания. Основной организационной предпосылкой развития математики в Европе было открытие учебных заведений. Одно из первых подобных заведений организовал в г. Реймсе (Франция) Герберт (940—1003), позднее ставший римским папой под именем Сильвестра II.

Через столетие, в XII—XIII вв., появились в Европе первые университеты. Самыми ранними университетами были итальянские в Болонье, Салерно и других городах. Вслед за ними были открыты университеты в Оксфорде и Париже A167), Кембридже A209), Неаполе A224), Праге A347), Вене A367) и т. д. Это были учебные заведения, безраздельно подчиненные церкви. Во главе

университетов стояли отцы-настоятели (ректоры), во главе факультетов— деканы. Студенты сначала обучались на подготовительном факультете искусств (артистическом), затем переходили на один из основных факультетов: богословский, юридический или медицинский. Математика входила составной частью в семь свободных искусств (artis liberalis), изучавшихся на факультете искусств.

Весь цикл этих искусств распадался на два концентра. Первый, составлял тривиум: грамматика, риторика, т. е.'искусство устно выражать мысли, и диалектика, или умение вести спор. Второй

концентр — квадривиум, включал в себя арифметику, геометрию, астрономию и музыку, т. е. теорию гармонических интервалов. Уровень математических познаний выпускников университетов был низок; во многих европейских университетах вплоть до XVI в. от лиц, претендовавших на звание магистра, по математике требовалась только... клятва, что он знает шесть книг

евклидовых «Начал». Так как университеты были подчинены реакционным устремлениям церкви, то школьная наука (схоластика) вырождалась в бесплодные умствования и споры, оправдывая тот позднейший смысл, который вкладывается поныне в слово «схоластика». Система средневекового образования в течение нескольких веков была необходимой, но недостаточной предпосылкой развития математической науки. При таком положении дел, естественно, математические знания не совершенствовались в европейских учебных заведениях. Они привносились извне. В малой части это были сохраненные остатки математики римлян, или греческо-византийских государств. В большей же части научные знания приобретались путем перевода сочинений с арабского языка на латинский. Таким путем европейцы познакомились с «Началами» Евклида, «Альмагестом»Птолемея и другими трудами античных математиков, с рядом сочинений математиков Средней Азии и Ближнего Востока.

Некоторое оживление в математике наступило в XIII в. в связи с двумя факторами: борьбой против схоластики и богословия, начатой Роджером Бэконом A214—1294), и математическими

трудами Леонардо Пизанского (ок. 1200 г.). Первый из них в своей резкой критике противопоставлял догматам, основанным на вере, опыт как единственный источник научного познания. В центре

всей опытной науки находятся, по Бэкону, физико-математические знания. Вообще все науки основаны на математике и их истины имеют ценность лишь постольку, поскольку они выражены числом и мерой, т. е. в математической форме. Математика в философских воззрениях Бэкона является азбукой всей натуральной философии, т. е. всего естествознания. Роль математики

повышалась в связи с ростом прогрессивных сил в философии.

Заслуги Леонардо в математике были совсем другого рода. Он получил хорошее математическое образование в Алжире, где жил его отец — один из торговых представителей богатого и сильного итальянского города Пизы. По торговым делам Леонардо объездил Сирию, Северную Африку, Испанию, Сицилию, пополняя свои знания при любой возможности. Около 1202 г. он написал «Книгу об абаке». Эта книга является подлинной энциклопедией математических знаний народов, живших на берегах Средиземного моря. Более 200 лет она являлась непревзойденным образцом математических сочинений для европейцев и подготовила новые успехи математики в эпоху Возрождения.

В «Книге об абаке» 15 отделов. В первых семи изложены исчисление целых чисел по позиционной десятичной системе и операции с обыкновенными дробями. Отделы 8—11 содержат приложения к коммерческим расчетам: простое и сложное тройное правило, пропорциональное деление, задачи на определение монетных проб. Разнообразный набор задач, решаемых с помощью

простого и двойного ложных положений, суммированием арифметических прогрессий и квадратов натуральных чисел, нахождением целочисленных решений неопределенных уравнений первой

степени, составляет отделы 12 и 13. Предпоследний, 14-й отдел посвящен вычислению квадратных и кубических корней и операциям с «биномиями», т. е. с выражениями вида а±УЬ. Завершается «Книга об абаке» 15-м отделом, содержащим краткое изложение алгебры и альмукабалы, близкое к алгебре Хорезми, а также задачи на непрерывные числовые пропорции и геометрические задачи, сводящиеся к приложению теоремы Пифагора.

Другое сочинение Леонардо «Практическая геометрия», написанное около 1220 г., посвящено измерению площадей многоугольников и объемов тел вплоть до объема шара.Доказательства теорем взяты из работ Евклида и Архимеда; встречаются задачи, свидетельствующие о знании Леонардо начал тригонометрии. Известно еще одно сочинение Леонардо — по теории чисел.

В нем идет речь о свойствах чисел, суммах вида а также об отыскании рациональных решений уравнений у2=х2+а\ z2=x2—а. Наконец, сохранились сведения об участии Леонардо в публичных состязаниях по математике и о решении им трудных задач.

Время, протекшее после работ Леонардо вплоть до эпохи Возрождения (XV—XVI вв.), в историю математики не внесло как будто ярких идей, больших открытий, коренных преобразований. Их не любят математики, мало на них останавливаются. Однако в эти «вспомогательные» столетия в математике происходил интересный и малоизученный процесс накапливания предпосылок. Математические знания распространялись среди все более широких кругов ученых. Идеи и результаты, накопленные в сочинениях Леонардо и других математиков, содержание переводимых книг античных авторов, наличие большого числа поставленных и осознанных, но еще не решенных теоретических и практических задач — все это влекло к новому научному подъему.

В этих условиях наметились два главных направления развития математики, в которых последняя достигла наибольших успехов. Это были: серьезное усовершенствование алгебраической символики и оформление тригонометрии как особой науки. Еще современник Леонардо генерал доминиканского монашеского ордена Иордан Неморарий (род. 1237 г.) изображал с помощью букв произвольные числа. Впрочем, буквенного исчисления из этого не получилось, так как результат любой операции над двумя буквами обязательно обозначался третьей буквой (a+b=c, a-b=d и т. д.).

Подведем итоги, не умножая количество примеров. В течение V—XV вв. б Европе постепенно сложилась система обучения, включавшая в себя математику,— система, через которую регулярно пополнялся слой образованных людей. Ученые, интересовавшиеся математикой, и студенты университетов усваивали достижения античной Греции, Византии, арабоязычных народов Ближнего Востока и Средней Азии через посредство широко распространившейся практики перевода арабских рукописей научного содержания на латинский язык — универсальный язык науки средневековья. Математика развивалась в связи с практическими запросами техники и мореплавания, в связи с чем вначале медленный темп научной жизни к концу рассматриваемого периода заметно ускорился. Большое стимулирующее воздействие на развитие математики оказали прогрессивные течения средневековой философии, идеологическая борьба против засилья церкви, феодалов, против застывших схоластических догм, освящаемых авторитетами и политикой светских и духовных репрессий. Определение места математики в системе наук как азбуки

естествознания, или, как последнее иначе называли, натуральной философии, стабилизировало ее положение и ускорило процесс создания в математике фундамента основных знаний, накопления

предпосылок для новых успехов. Совокупность воздействующих на математику факторов оказалась таковой, что в ней опреде- определились наибольшие успехи в создании формально-символической стороны алгебры и в тригонометрии. Был также высказан и пущен в научный обиход, особенно в XV—XVI вв., ряд мыслей, имеющих большое значение для последующего: обобщение понятия числа, обобщение понятия степени, предвестники систем логарифмов. Необходим был практический успех, хотя бы небольшой, но практический, чтобы вся масса накопленных предпосылок пришла во все ускоряющееся движение.

Математика эпохи Возрождения. Математика и естествознание вообще в XV—XVI вв. в Европе развивались в обстановке бурных изменений, связанных в своей экономической основе с начавшимся разложением феодального общества и установлением буржуазно-капиталистических отношений. Изменения происходили в промышленности, выливаясь в форму мануфактур с

характерным для них разделением труда и введением машин и технических усовершенствований. Невиданное ранее развитие стали получать торговые связи и мореплавание, сопровождаемые великими географическими открытиями. В политическом отношении изменения состояли, в основном и главном, в том, что мощь и влияние феодального дворянства были сломлены под

напором королевской власти при поддержке горожан и образованы крупные, по существу национальные монархии. Наконец, расцвет культуры и искусства в Италии, Франции и других

странах, изобретение книгопечатания (в середине XV в.) определили совершенно новый уровень умственных запросов и занятий все распространяющегося круга людей.

Как мы показали выше, важнейшие достижения математиков средневековой Европы относились к области алгебры, к усовершенствованию ее аппарата и символики. Региомонтан обогатил при этом понятие числа, введя радикалы и операции над ними. Это позволяло ставить проблему решения возможно более широкого класса уравнений в радикалах. И в этой именно области были достигнуты первые успехи — решены в радикалах уравнения 3-й и 4-й степени. Столь быстрые и поразительные успехи в нахождении формулы решения уравнений 3-й и 4-й степени поставили перед математиками проблему отыскания решений уравнений любых степеней. Огромное число попыток, усилия виднейших ученых не приносили успеха. Задача с течением времени преобразовывалась и

стала трактоваться как задача о возможности или невозможности решения алгебраических уравнений степени п^Ъ в радикалах. В поисках решения этой проблемы протекло около 300 лет.

Только в XIX в. Абель A802—1829) доказал, что уравнения степени я>4, вообще говоря, в радикалах не решаются. Галуа связал с каждым уравнением специальную группу подстановок его корней— группу Галуа, и свел проблему к исследованию структуры этой группы, ее разрешимости.

Уже Кардано упоминает о мнимых корнях, именуя их софистическими; показывает на примере х-±у= 10, ху = 40, что эти корни встречаются попарно, т. е. х]У2 = 5±У—15, но решить такого рода уравнения считает невозможным. Плодотворная и смелая попытка справиться с неприводимым

случаем принадлежит итальянскому математику и инженеру Р. Бомбелли из Болоньи. В сочинении «Алгебра» A572) он ввел формально правила действий над мнимыми и комплексными чис-

числами, опирающиеся на правила: ± i • ± i =—1, ± i • Т / = 1, установил, что все выражения, содержащие „софистические минусы" Кардано, преобразуются к виду а-\ Ы. Но введение

для частных целей общих операций с комплексными числами выдвигает «Алгебру» Бомбелли в число ближайших предшественников работ Гаусса по этому вопросу.

Рост содержания математических знаний всегда тесно связан с развитием математической символики. Последняя, когда она достаточно хорошо отражает реальную сущность математических

операций, активно воздействует на математику и сама приобретает оперативные свойства. В истории математики историю символов можно уподобить истории орудий труда, по которым можно

многое восстановить и понять. В рассматриваемое нами время происходил быстрый переход

от словесной (риторической) алгебры к алгебре символической путем сокращения (синкопирования) слов, а затем введения символов. Уже у Кардано переход этот очень заметен. Единую систему алгебраических символов, последовательно проведенную, первым дал, по-видимому, Виета.

Появление буквенного алгебраического исчисления являлось одной из сторон более общего и глубокого явления в истории математики — возникновения алгебры как общей науки об

алгебраических уравнениях. Сочинения и взгляды Виеты хорошо передают этот переломный момент.

Франсуа Виета A540—1603)—французский математик, юрист по образованию и роду деятельности. Во время педагоги- педагогических занятий в одной влиятельной семье у него возник план новой астрономической системы, долженствующей заменить неточную, по его мнению систему Коперника. В связи с этим замыслом Виета положил много сил на усовершенствование

тригонометрии и достиг замечательных успехов. Блестяще образованный Виета быстро продвигался по служебной лестнице, и наконец сделался близким советником и придворным ученымфранцузских

королей Генрихов III и IV. Будучи с 1584 по 1589 г. отстраненным от придворных дел вследствие происков политических противни- противников, он употребил свой досуг на написание главного труда своей жизни «Введение в искусство анализа» — огромного и чрезвычайно обстоятельно написанного сочинения по новой алгебре. Труд этот выходил с 1591 г. частями, в значительной части после смерти автора и не был полностью завершен. Замысел Виеты определялся следующими соображениями: крупные успехи итальянских математиков в решении уравнений 3-й и 4-й степени опирались на высокую эффективность алгебраических приемов. Но число отдельных видов алгебраических уравнений угрожающе быстро росло, достигая, например, у Кардано 66; каждый из этих видов требовал особых приемов. Необходимо было найти общие методы подхода к решению алгебраических уравнений; последние тоже должны рассматриваться в возможно более общем виде с буквенными коэффициентами. Кроме того, необходимо было сочетать эффективность алгебраических приемов со строгостью античных геометрических построений, хорошо знакомых Виете и представлявших, по его мнению, образцы подлинно научного анализа.

Исчислению Виеты предшествует арифметика, оперирующая с числами: logistica numeralis. Исчисление букв получает название logistica speciosa от слова species— член математического

выражения. Исчисление распадается на: зететику — искусство решения уравнений; пористику — искусство доказательства правильности полученных решений; экзегетику — общую теорию уравнений. Все величины обозначены буквами: неизвестные — гласными, известные—согласными. Числа — безразмерны, положительны, рациональны (в случаях иррациональностей Виета переходит на язык геометрии), величины же имеют размерность. Это геометрическое влияние на концепцию величины усиливается специальной терминологией: первая степень величины называется latis (сторона), вторая — planum (площадь), третья — solidum (тело). Далее следуют плоско-плоские, плоско-объемные, объемно-объемные и т. д. величины. Сложение и вычитание производятся над одноразмерными величинами. Последние, впрочем, допускается подравнивать в размерности путем умножения на единицу длины. Умножение и деление вызывают изменение размерности. Эти идеи Виеты в его время отражали наличие не преодоленного еще разрыва между числами и величинами. Позднее выяснилось, что они явились предтечей ряда математических исчислений: векторного, тензорного, грассмановой алгебры.

Символика Виеты также отягощена еще грузом геометрических привнесений; она тяжела, не всегда понятна, перемежается сокращенными и даже несокращенными словами. Тем не менее благодаря этой символике стало впервые возможным выражение уравнений, их свойств, общими формулами. Объектами математических операций стали не числовые задачи, а сами алгебраические выражения. Именно этот смысл вкладывал Виета в характеристику своего исчисления как «искусства, позволяющего хорошо делать математические открытия». Кстати, символы Виеты были вскоре усовершенствованы его младшими современниками, особенно Гэрриотом A560—1621).

В сочинениях Виеты подводится своеобразный итог математики эпохи Возрождения. Особенно отчетливо эта особенность проявляется в его алгебраических трудах. В них подробно и обстоятельно изложены сведения об уравнениях 1—4-й степеней. Общий характер записи позволяет Виете все изложение строить не как собрание рецептов, а как общую теорию уравнений. Для этого он использует богатый арсенал алгебраических преобразований, опирающийся на подстановки: (чтобы исключить член, имеющий неизвестное во второй по величине степени),

(для исключения члена, содержащего ), x=ky (с цельюустранения дробных коэффициентов), (чтобы придать коэффициенту при х данное значение) и др. От радикалов он освобождал- освобождался путем отъединения одного члена и возведения обеих сторон уравнения в степень.

На примере работ Виеты мы показали, что в европейской математике к концу XVI в. сформировалась алгебра как наука о решении уравнений. Последняя содержала полный запас методов решения уравнений первых четырех степеней. Алгебраисты завершили символическое оформление своей науки и пробовали формулировать и решать проблемы общей теории алгебраических уравнений. Тригонометрия отделилась от астрономии, ее результаты получили достаточную степень общности. Полностью освоено учеными геометрическое наследие древних. Математика постоянных величин к концу XVI в. завершала цикл своего формирования. В ней еще многое было недоделано, было неясно, хотя она представляла уже достаточно полный круг знаний, охваченных единой системой. Конечно, доделки и усовершенствования элементарной математики идут и в наши дни. Но на повестку дня математической науки XVII век поставил другие задачи. Центр тяжести научных исследований сместился в область переменных величин, В математике наступал новый период.