Уравнения установившегося режима электрической сети. Уравнения узловых напряжений.
Установившимся режимом (УР) электрической цепи при постоянных источниках тока и напряжения называют такое состояние, при котором ток в любой ветви и напряжение в любом узле остаются неизменными в течение сколь угодно длительного времени.
Линейными уравнениями УР наз-ся линейные алгебраические уравнения, описывающие УР цепей, содержащих только линейные пассивные элементы (R, X, L, C не зависящие от I и U в них) и постоянные по модулю и фазе источники тока.
При расчёте УР с помощью уравнений узловых напряжений известны сопротивления и проводимости всех пассивных элементов электрической сети. Кроме того, заданы постоянные величины всех источников тока во всех узлах, кроме балансирующего по P и Q, и все ЭДС, а также напряжение базисного узла. Необходимо определить напряжения n узлов и токи в m ветвях. Для простоты расчёта полагают что базисный и балансирующий узлы совпадают.
В общем случае при Uб 
0 система уравнений узловых напряжений для сети постоянного тока имеет вид:
(1)
где 
- неизвестное узловое напряжение; n – число узлов сети;
- собственная проводимость к-го узла, равна сумме проводимостей всех ветвей, соединённых с узлом к;
- взаимная провод-ть взаимная проводимость узлов к и j;
- задающий ток к-го узла, равен алгебраической сумме токов источников, подключённых к узлу к. При наличии в цепи источников ЭДС в ток к-го узла Ik входит алгеб. сумма произведений ЭДС ветвей, соединённых с узлом к, на проводимость этих ветвей.
Для решения (1) необходимо принять один из узлов за базисный по напряжению и балансирующий по току (может быть один и тот же узел). Напряжение в этом узле Uб известно, а ток неизвестен и равен сумме токов остальных узлов. Токи в остальных узлах заданы, а напряжения неизвестны. Тогда
Матрицы собственных и взаимных проводимостей узлов и вектор-столбцы токов в узлах и узловых напряжений:
Общий случай в матричной форме:
(2)
Матричная форма записи для цепи переменного тока (все величины – комплексные числа):
.
При решении на ЭВМ уравнения узловых напряжений для сети перемен. тока приводят к сис-ме действительных ур-й порядка 2n, где n – число независимых узлов. Матрицы и вектор-столбцы комплекс. элементов представляют в виде сумм матриц и вектор-столбцов с действит. элементами:
(3)
или
В матричной форме
Для сети переменного тока (2) имеет вид:
тогда согласно (3) при Uб’’=0
Матрица собственных и взаимных проводимостей узлов Yу симметрична, т.е Ykj=Yjk. Её важнейшим свойством является большое количество нулевых элементов (слабая заполненность).
Матрица соединений ветвей и узлов (первая матрица инциденций) – это прямоугольная матрица, число строк которой равно числу узлов n+1, а число столбцов – числу ветвей m. Она обозначается следующим образом:
МΣ= 
При этом номера строк i соответствуют номерам узлов, а номера столбцов j – номерам ветвей. Элементы данной матрицы могут принимать одно из трёх значений: mij=+1, если узел i является начальной вершиной ветви j; mij=-1, если узел i является конечной вершиной ветви j; mij=0, если узел I не является вершиной ветви j.
Матрица узловых проводимостей может быть определена следующим образом:
где МТ – транспонированная мат-ца соед-ний ветвей и узлов М;
ZВ и YВ – диагональные матрицы сопротивлений и проводимостей ветвей.
Нелинейные уравнения узловых напряжений описывают УР эл. сис-мы при задании нелинейных источников тока (генераторы с заданной мощностью, либо нагрузки потребителей, заданные статической характеристикой или постоянной мощностью). Тогда узловой ток при заданной мощности нагрузки потребителя или генератора:
где Sk* =const - сопряжённая мощность трёх фаз к-го узла; Uk* - сопряжённый комплекс междуфазного напряжения; I – нелинейный ток.
При задании нагрузки статической характеристикой:
Нелинейные уравнения узловых напряжений при задании постоянной мощности нагрузки потребителей и генераторов в узлах для сис-мы перемен. тока:
Матричная форма записи:
где Yу – комплексная матрица собственных и взаимных узловых проводимостей; I(U) – вектор-столбец задающих токов, Uб – заданное напряжение балансирующего узла.
Ур-я узловых напряжений часто используются в форме баланса мощности. Узловые уравнения баланса мощности для системы переменного тока:
В матричной форме:
где 
- диагональная матрица, к-й диагональный элемент которой равен сопряжённому комплексу напряжения к-го узла; S* - вектор-столбец сопряжённых мощностей в узлах, к-й элемент которого равен заданной сопряжённой мощности к-го узла.
Нелинейные уравнения УР в общей форме можно записать в виде сис-мы неявных ф-ий:
W(X,Y)=0,
Где W – вектор-ф-я; X и Y – вектор-столбцы зависимых и независимых параметров режима.
2.3 Методы Зейделя и Ньютона для решения уравнений УР.
Метод Зейделя относится к простейшему итерационному методу решения систем линейных уравнений УР. Рассмотрим простую итерацию для понимания сути применения итерационных методов.
Рассмотрим систему уравнений узловых напряжений третьего порядка:
(1)
Предполагая, что диагональные элементы не равны 0, разрешим первое Ур-е системы относительно U1, второе – относительно U2, третье – относительно U3. Получим эквивалентную (1) систему:
(2)
где 
Зададим начальные приближения неизвестных 
Подставим их в правые части (2), получаем первые приближения 
Вычисление первого приближения неизвестных соответствует первому шагу итерационного процесса. Полученные i-е приближения используются для расчёта последующих (i+1)-х приближений.
(3)
Введём матрицу и вектор-столбцы:
Диагональные элементы матрицы В равны 0, а недиагональные совпадают с коэффициентами систем (2) или (3). Учитывая правило умножения матриц запишем системы (2) и (3) в матричной форме:
(4)
Элементы матрицы В – безразмерные величины, а элементы вектора b имеют размерность напряжения.
Итерационный процесс, определяемый выражением (3) или (4), называется простой итерацией.
Метод Зейделя представляет собой незначительную модификацию простой итерации. Отличие заключается в том, что найденное (i+1)-е приближение (k-1)-го напряжения 
сразу же используется для вычисления следующего, k-го напряжения 
. Таким образом для (1) итерационный процесс метода Зейделя описывается след. выражением:
(5)
По методу Зейделя (i+1)-е приближение k-го напряжения 
вычисляется так:
(6)
Применение метода Зейделя для решения нелинейных ур-й узловых напряжений аналогично (6).
(7)
где 
- нелинейная функция, описывающая итерационный процесс Зейделя.
В расчётах на ЭВМ при замене комплексных переменных на действительные по методу Зейделя определяются активные и реактивные напряжения узлов:
(8)
где 
- составляющие комплексной нелинейной ф-ии 
, описывающей итерационный процесс Зейделя.
Сходимость метода Зейделя к решению нелинейных уравнений УР медленная. Для ускорения сходимости применяют ускоряющие коэффициенты, или метод неполной релаксации.
Обозначим 
напряжение k-го узла, определённое на (i+1)-ом шаге по обычным итерационным формулам (7). Ускоренное (i+1)-е приближение значения напряжения k-го узла 
определяется по формуле 
где 
- поправка по напряжению k-го узла на (i+1)-м шаге; t – ускоряющий коэффициент. Напряжение 
, вычисленное с ускорением, принимается в качестве исходного при расчёте следующего, (i+2)-го шага.
В случае t=1 получим обычный итерационный процесс метода Зейделя.
Основные достоинства метода: лёгко программируется и требует малой оперативной памяти.
Недостаток – в медленной сходимости. Особенно плохо сходится (в ряде случаев даже расходится) при расчёте УР систем с устройствами продольной компенсации, с трёхобм. трансформаторами и автотранс. и др.
Метод Ньютона.
Данный метод пригоден для решения обширного класса нелинейных ур-й.
Идея метода состоит в послед. замене на каждой итерации сис-мы нелин. ур-й некоторой лин. сис-мой, решение которой даёт более близкие к решению нелинейной сис-мы значения неизвестных, чем исходное приближение. Поясним идею на примере решения ур-я
(1)
Решение ур-я точка 
, в которой кривая 
проходит через 0. Зададим начальное приближение 
. Заменим (1) в окрестности точки 
линейным уравнением
(2)
левая часть – два первых члена разложения ф-ии 
в ряд Тейлора. Решив (2), определим поправку к начальному приближению:
(3)
За новое приближение неизвестного примем
(4)
Аналогично определяем следующие приближения:
Итерационный процесс сходится, если 
становится близкой к нулю или
(5)
где 
- заданная величина невязки.
Геометрическая интерпретация
Один шаг метода Ньютона сводится к замене кривой 
на прямую
которая является касательной к этой кривой в
точке 
. Поэтому метод наз-ют также методом касательных.
Приближение 
- точка пересечения касательной к кривой 
в точке 
с осью x.
Сис-ма нелинейных ур-й с действительными переменными:
(6)
Запишем в матричной форме
(7)
где 
- вектор-столбец; 
- вектор функция.
Матрица Якоби (матрица производных сис-мы ф-ий 
по переменным 
):
(8)
Сис-ма линеаризованных ур-й в матричном виде:
(9)
Решение узловых ур-й баланса мощности для к-го узла:
(10)
Уравнения баланса мощностей для k-го узла при переменных U и 
:
где 
Матрица Якоби:
т.е элементы матрицы – это частные производные небалансов активной и реактивной мощностей по модулям и фазам напряжений узлов.
Решение ур-й узловых напряжений баланса токов для к-го узла:
Элементы матрицы Якоби – это производные активных и реактивных небалансов токов по активным и реактивным напряжениям узлов.
Таким образом, метод ньютона в расчёте УР сходится быстрее и надёжнее метода Зейделя. Но он требует больше памяти при расчёте на ЭВМ, чем метод Зейделя.
2-4. Регулирование напряжения в электрических сетях. Компенсация реактивной мощности.
