Аппроксимация характеристик нелинейных элементов

Большинство процессов (нелинейное усиление сигналов, модуляция,

демодуляция, ограничение, генерация, умножение, деление и перенос частоты и т. д.), связанных с преобразованием спектра сигналов, осуществляют с помощью нелинейных и параметрических цепей. В нелинейных цепях параметры элементов зависят от входных воздействий, и процессы, протекающие в них, описывают нелинейными дифференциальными уравнениями. При этом к ним неприменим принцип суперпозиции. Эти цепи отличаются большим разнообразием и поэтому не существует общих методов их анализа.

Анализ нелинейных цепей мы ограничим рассмотрением только их определённого класса. Это радиотехнические цепи, анализ которых проводится в основном с помощью вольт-амперных характеристик нелинейных элементов. Промежуточное положение между линейными и нелинейными цепями занимают параметрические цепи, которые являются линейными и к которым применим принцип суперпозиции. Однако в спектре выходного сигнала таких цепей могут появиться новые частоты. Параметрические цепи описывают линейными дифференциальными уравнениями с переменными (т. е. зависящими от времени) коэффициентами. Теория этих уравнений по сравнению с теорией линейных уравнений с постоянными коэффициентами более сложна. Некоторые параметрические цепи работают в существенно нелинейном режиме. Это позволяет методологически объединить параметрические цепи с нелинейными цепями, тем более что результат обработки сигнала связан с преобразованием его спектра.

Нелинейные динамические системы описывают нелинейными дифференциальными уравнениями, в этих системах нелинейность обязательно присутствует. Нелинейную цепь можно определить не только по входящим в нее элементам, но и по внешним признакам, к числу которых при гармоническом входном сигнале относят:

ü отличие от синусоидальной формы выходного сигнала ;

ü появление в спектре выходного колебания гармоник входного сигнала;

ü нелинейность передаточной амплитудной характеристики;

ü зависимость фазы усиленного сигнала от амплитуды.

Известны и используют следующие методы анализа нелинейных цепей при прохождении через них детерминированных сигналов:

Ø линеаризация характеристик нелинейного элемента (НЭ) при

фильтрации высших гармоник сигнала на выходе цепи;

Ø аналитические, как правило, приближенные способы решения системы

нелинейных уравнений, описывающих работу устройства;

Ø спектральный, оценивающий нелинейные свойства цепи по спектру

выходного сигнала;

Ø численные способы решения системы нелинейных уравнений с

помощью компьютера;

Наиболее часто используют метод анализа нелинейных цепей, основанный на линеаризации характеристик НЭ при фильтрации высших гармоник сигнала на выходе цепи.

Линеаризация (от лат. linearis – линейный) – метод приближённого

представления замкнутых нелинейных систем, при котором исследование

нелинейной системы заменяют анализом линейной системы, в некотором смысле эквивалентной исходной. Методы линеаризации имеют ограниченный характер, т. е. эквивалентность исходной нелинейной системы и её линейного приближения сохраняется лишь при определённом «режиме» работы системы, а если система переходит из одного режима работы на другой, то следует изменить и её линеаризированную модель. Вместе с тем, применяя линеаризацию, можно выяснить многие качественные и количественные свойства нелинейной системы.

В качестве примера нелинейных цепей, точнее элементов, можно привести полупроводниковый выпрямительный диод, оставляющий от синусоидального сигнала только однополярные (положительные или отрицательные) полусинусоиды, или трансформатор, насыщение сердечника которого магнитным полем приводит к «затуплению» вершин синусоиды (а с точки зрения частотного спектра, это сопровождается появлением гармоник основной частоты, а иногда и частот меньшей в кратное число раз основной частоты – субгармоник).

При использовании метода линеаризации анализ прохождения сигнала

через нелинейную цепь сравнительно просто осуществить, если нелинейный

элемент отвечает условиям безынерционности. Физически безынерционность нелинейного элемента (НЭ) означает мгновенное изменение отклика на его выходе вслед за изменением входного воздействия. Если говорить строго, то безынерционных (резистивных, или омических, т. е. поглощающих энергию сигнала) НЭ практически не существует. Все НЭ – диоды, транзисторы, микросхемы, электровакуумные приборы и т. д. – обладают инерционными свойствами. Вместе с тем, современные полупроводниковые приборы достаточно совершенны по своим частотным параметрам, и их удаётся идеализировать с точки зрения безынерционности.

Большинство нелинейных радиотехнических цепей и устройств определяется структурной схемой, представленной на рис.1.

Рис.1. Структурная схема нелинейного устройства

Согласно этой схеме, входной сигнал непосредственно воздействует на нелинейный элемент, к выходу которого подключён фильтр (линейная цепь).

В этих случаях процесс в радиоэлектронной нелинейной цепи можно охарактеризовать двумя независимыми друг от друга операциями.

В результате первой операции в безынерционном нелинейном элементе происходит такое преобразование формы входного сигнала, при котором в его спектре появляются новые гармонические составляющие. Вторую операцию осуществляет фильтр, выделяющий нужные спектральные составляющие преобразованного входного сигнала. Меняя параметры входных сигналов и используя различные нелинейные элементы и фильтры, можно осуществлять требуемую трансформацию спектра. К такой удобной теоретической модели сводятся многие схемы модуляторов, детекторов, автогенераторов, выпрямителей, умножителей, делителей и преобразователей частоты.

Как правило, нелинейные цепи характеризуются сложной зависимостью между входным сигналом и выходной реакцией , которую в общем виде можно записать так:

.

В нелинейных цепях с безынерционными НЭ в качестве воздействия наиболее удобно рассматривать входное напряжение , а отклика – выходной ток , связь между которыми определяется нелинейной функциональной зависимостью:

...................... (1)

Данное соотношение аналитически может представлять собой обычную вольтамперную характеристику НЭ. Такой характеристикой обладает и нелинейный двухполюсник (полупроводниковый диод), и нелинейный четырёхполюсник (транзистор, ОУ, цифровая микросхема), работающий в нелинейном режиме при различных амплитудах входного сигнала. Вольтамперные характеристики (для нелинейных элементов их получают экспериментально) большинства НЭ имеют сложный вид, поэтому представление их аналитическими выражениями является достаточно трудной задачей. Как правило, не имеет большого смысла проектирование систем анализа и обработки сигналов по высокоточным формулам, если снижение погрешности расчётов и соответствующее усложнение систем не дает ощутимого эффекта в повышении точности обработки данных. Во всех этих условиях возникает задача аппроксимации – представление исходных сложных функций простыми и удобными для практического использования относительно простыми функциями (или их набором) таким образом, чтобы отклонение от в области её задания было наименьшим по определенному критерию приближения. Функции называют функциями аппроксимации. Нахождение аналитической функции по экспериментальной вольт-амперной характеристике нелинейного элемента называют аппроксимацией.

В радиотехнике и теории передачи информации используются несколько способов аппроксимации характеристик НЭ – степеннáя, показательная, кусочно-линейная (линейно-ломаная).Наибольшее распространение получили аппроксимация степенным полиномом и кусочно-линейная аппроксимация сложных функций.

Аппроксимация ВАХ степенным полиномом