Алгоритм метода касательных

1. Выберем начальное приближение. Начальное приближение x0 выбирается,исходя из условия f(x0) f ’’(x0) >0.Для функции(изображенной на рисунке) 2-ая производная больше 0 (f ’’(x0) > 0, функция выпукла книзу), f(a)<0, f(b)>0, следовательно, x0 = b (в т. x0 = а данное условие не выполняется). 2.Проведем касательную к кривой y = f(x) в точке A0[x0, f(x0)]. 3.В качестве 1-го приближения корня х1 возьмем абсциссу точки пересечения этой касательной с осью ОХ. 4.Через точкуА1[x1, f(x1)]. снова проведем касательную, абсцисса точки пересечения которой с осьюОХ даст нам второе приближение корня х2 и т.д. 5.Продолжим процесс, в результате получим итерационную последовательность x0 , x1, x2,……xn, 6. Формула для вычисления n-ого приближения 7.Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока две соседние итерации не станут достаточно близкими, т.е. пока не выполнится одно из условий Или

Если хоты бы одно из условие (1.4) или ( 1.5) выполняется, то в качестве приближенного решения уравнения (1.1) с точностью e принимается n-я итерация, т.е. . Если ни одно из условий не выполняется, то итерационный процесс необходимо продолжить.

Аналогичным образом находиться корень и в случае, когда f ^’’(x)<0 для xÎ [a b] (см. Теорема1)

f(x₀) f ^’’ (x₀)>0.

Для функции вторая производная f ^’’ (x)=1/х положительнана всем отрезке [0.5, 3] (функция – выпуклая книзу), f(0.5)<0, f(3.0)>0, следовательно x₀=b=3.

4. Корень уравнения x^* с заданной точностью ε вычисляется по формуле

(1.7)