Законы Ома и Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.

Интегральная форма вышеуказанных законов постоянного тока удобна для однородных проводников, имеющих постоянное сечение, однако часто проводящая среда имеет более сложную форму и неоднородную структуру. Для таких ситуаций получим иные формулировки тех же законов.

Для этого мысленно выделим внутри проводящей среды некоторый цилиндрический объем с площадью основания dS, образующие dl которого параллельны вектору плотности тока в этой области.

 

Сопротивление этой трубки тока , напряжение, приложенное к цилиндру U=Edl и сила тока в нем I=jdS.

(4.1)

Подставим эти значения в закон Ома . Носители заряда в каждой точке движутся в направлении вектора напряженности, поэтому направления и совпадают. Тогда можем записать

, (4.2)

где σ_уд – удельная электропроводность. Выражение (4.2) является законом Ома в дифференциальной форме. Его можно применять для любых проводящих сред.

Если на участке цепи имеется источник питания с ЭДС, тогда

. (4.3)

Таким образом, для возникновения электрического тока необходимы носители тока и электрическое поле напряженностью , под действием которого заряды будут перемещаться.

 

С помощью формул (4.1) представим закон Джоуля-Ленца для элементарного цилиндра

.

Количество теплоты, выделяющееся в единице объема проводника за единицу времени, называется удельной тепловой мощностью:

или .

(4.4)

Это закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.

Если участок цепи неоднороден, то

. (4.5)

Чтобы получить количество теплоты, выделяющееся во всем проводнике за время t нужно проинтегрировать по объему проводника в некоторый момент времени, а затем полученное выражение проинтегрировать по времени

. (4.6)