Векторная алгебра. Метод координат в пространстве.

1.57. Вычислить модуль вектора .

1.58. Даны две координаты вектора y=4; z=-12. Определить его первую координату x при условии, что .

1.59. Определить координаты вектора , если A(2;0;-4), B(3;-3;-1).

1.60. Дан модуль вектора и углы образованные с осями координат: α=135º; β=120º; γ=60˚. Найти проекции вектора на координатные оси (координаты вектора ).

1.61. Определить координаты вектора , составляющего с осями координат равные углы при условии, что =6.

1.62. Известны три последовательные вершины параллелограмма A(1;2;3),
B(-3;-2;1)
и C(-6;3;2). Найти его четвертую вершину D.

1.63. Даны три вектора , , . Найти разложение вектора по базису , , .

1.64. Выяснить являются ли векторы и линейно зависимыми?

1.65. Среди векторов , , найти: 1) коллинеарные, 2) ортогональные.

1.66. Найти скалярное произведение векторов и .

1.67. Найти косинус угла между векторами и .

1.68. Найти проекцию вектора на направление вектора .

1.69. Из вершины квадрата проведены прямые, делящие противоположные стороны пополам. Найти косинус угла между этими прямыми.

1.70. Даны вершины треугольника A(-3;-2;0), B(0;-2;4) и C(4;-2;1). Определить его внутренний угол A.

1.71. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .

1.72. Вычислить площадь треугольника с вершинами A(4;6;-2), B(7;4;4), C(1;1;6).

1.73. Найти высоту и площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

1.74. Даны точки A(2;-1;3), B(1;2;0) и C(3;2;2). Найти координаты векторных произведений 1) ; 2) .

1.75. Даны вершины треугольника A(5;-6;3), B(1;-1;3) и C(1;3;0). Вычислить длину его высоты, опущенной из вершины A на сторону BC.

1.76. Найти площадь параллелограмма, диагоналями которого служат векторы и , где и – единичные векторы, образующие угол 135˚.

1.77. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах , , .

1.78. Вычислить объем тетраэдра, вершины которого находятся в точках O(0;0;1), A(5;2;1), B(2;5;1) и С(1;2;5). Найти площадь грани ABC и высоту пирамиды, опущенную на эту грань.

1.79. Показать, что векторы , , компланарны и разложить вектор по векторам и .

1.80. Известны координаты трех вершин тетраэдра A(3;0;1), B(2;1;3), С(2;-1;-1). Найти координаты четвертой вершины D, если известно, что она лежит на оси Oy, а объем тетраэдра равен 5.

1.81. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат и имеет нормальный вектор.

1.82. Найти угол между плоскостями:

1. x + y – 4z + 3 = 0 и x – 2y + 2z +4 = 0,

2. x + 5y – z – 6 = 0 и x – y – 3z + 6 = 0,

3. x – 2y + 2z – 2 = 0 и x + z – 5 = 0.

1.83. Даны две точки и . Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору .

1.84. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум векторам , .

1.85.Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной к плоскостям x +2y – 2z = 1,

x – 2y +z= 4.

1.86. Найти расстояние точки (1;3;1) от плоскости 2x – y – 2z – 3 = 0.

1.87. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (3;-1;-2) и отсекающей на осях координат равные отрезки.

1.88. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M(1;0;2) и отсекающей на осях Ox и Oy отрезки a=2 и b=3.

1.89. Найти косинусы углов нормали плоскости 2x + y + 2z – 4 = 0 с осями координат.

1.90. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось Oz и через точку (3;4;-1).

1.91. Написать уравнение плоскости, проходящей через:

1) прямую и точку A(4;6;-3),

2) три точки A(-1;2;3), B(-2;11;4), С(-3;-2;1),

3) две параллельные прямые: и ,

4) две пересекающиеся прямые и .

1.92. Написать канонические уравнения прямой:

1) проходящей через две точки A(1;-1;3), B(2;1;-1),

2) проходящей через точку A(3;1;2) и параллельной вектору .

1.93. Найти косинус угла между прямыми:

и .

1.94. Найти расстояние точки M(2;-1;3) до прямой .

1.95. Найти расстояние от точки M(1;2;2) до плоскости, проходящей через точки , , .

1.96. Даны вершины тетраэдра , , , . Найти:

1) длину ребра ,

2) угол между ребрами и ,

3) площадь грани ,

4) длину высоты пирамиды, проведенной из вершины ,

5) уравнения высоты пирамиды, проведенной из вершины ,

6) объем пирамиды.

1.97. Даны вершины треугольника A(3;-1;-1), B(1;2;-7) и С(-5;14;-3). Составить канонические уравнения биссектрисы его внутреннего угла при вершине B.

1.98. Составить уравнения прямой, которая проходит через точку
M(-1;-3;2) и пересекает две прямые ; .

 

 

Ответы

 

1.1. 1.2.(5;-3). 3. (5;0). 1.4.(4;0), (0;4), (-4,0), (0;-4). 1.5.(2;4), (4;3), (1;1). 1.6.(7;4) и (10;6). 1.7.(8,5; -7,5). 1.8. 1.9. . 1.10. . 1.11.y+x-2=0. 1.12. . 1.13. .

1.14.x2+y2=4 1.15.y=-x+4. 1.16. y=3x+5. 1.17. . 1.18.y=x-1. 1.19. -x+7y-5=0,

-x+y-5=0, -x-2y+4=0. 1.20.x+y-4=0; x-y+4=0; y=3, y=0. 1.21. . 1.22. . 1.23. . 1.24.а) 45° б) 60°. 1.25. -2y+5x+4=0; -2y+5x-25=0.

1.26. -x-3y+2=0; -5x-y=4; -3x+y=12. 1.27. 1.28. . 1.29. . 1.30. . 1.31.d=1. 1.32. .

1.33.3x+4y+6, 3x+4y+6, 3x+4y-14=0 или 3x+4y+6=0, 3x+4y+26. 1.34.4x+y+5=0, y-3=0. 1.35.Острый угол . 1.36.3x-19=0. 1.37.(1;2). 1.38. .

1.39.AB: x-y-7=0, CD: x+y-5=0; BE: 3x-y-13=0; CF: 5x+3y-19=0.

1.40. . 1.41.x2+y2+3y=0. 1.42.2x-y-2,5=0. 1.43. .

1.44. . 1.45.2. 1.46. . 1.47.1) ; 2) ;

3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ;

8) ; 9) или ; 10) . 1.48.1) ;

2) ; 3) ; 4) . 1.49. .

1.50. . 1.51.1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ;

9) . 1.52. . 1.53.1) y2=12x; 2) y2=10x; 3) x2=4y; 4) x2=-3y; 5) y2=-5x.

1.54. . 1.55.О1(-7; -1); y=-1. 1.56.1) (1;0); 2) (0;2); 3) (-1;0); 4) (0;-0,5). 1.57. .

1.58. . 1.59. . 1.60. . 1.61. .

1.62.D(-2;7;4). 1.63. . 1.64.Нет. 1.65. . 1.66.–2.

1.67. . 1.68. . 1.69.0,8.. 1.70.45°. 1.71. . 1.72.24,5.

1.73. . 1.74.1) ; 2) . 1.75.5. 1.76. . 1.77.54.

1.78. , . 1.79. . 1.80.D1(0;-8;0) D2(0;-7;0).

1.81.x-2y+3z=0. 1.82.1) 45° 2) 3) 45°. 1.83. -x+3z=0. 1.84.x+y+z-4=0.

1.85.2x-3y+4z=0. 1.86.2. 87.x+y-z=4. 1.88. . 1.89. .

1.90.4x+3y=0. 1.91.1) 19x-12y-13z-43=0. 2) -2x+3y-1=0. 3)y+z+2=0. 4) –18x+8y-15z+21=0.

1.92.1) , 2) . 1.93. . 1.94. . 1.95.3.

1.96.1) , 2) , 3) S=12, 4)Н1=3, 5) , 6) 12.

1.97. .1.98. .