Векторная алгебра. Метод координат в пространстве.
1.57. Вычислить модуль вектора 
.
1.58. Даны две координаты вектора y=4; z=-12. Определить его первую координату x при условии, что 
.
1.59. Определить координаты вектора 
, если A(2;0;-4), B(3;-3;-1).
1.60. Дан модуль вектора 
и углы образованные с осями координат: α=135º; β=120º; γ=60˚. Найти проекции вектора 
на координатные оси (координаты вектора ).
1.61. Определить координаты вектора 
, составляющего с осями координат равные углы при условии, что 
=6.
1.62. Известны три последовательные вершины параллелограмма A(1;2;3),
B(-3;-2;1) и C(-6;3;2). Найти его четвертую вершину D.
1.63. Даны три вектора 
, 
, 
. Найти разложение вектора 
по базису 
, 
, 
.
1.64. Выяснить являются ли векторы 
и 
линейно зависимыми?
1.65. Среди векторов 
, 
, 
найти: 1) коллинеарные, 2) ортогональные.
1.66. Найти скалярное произведение векторов 
и 
.
1.67. Найти косинус угла между векторами 
и 
.
1.68. Найти проекцию вектора 
на направление вектора 
.
1.69. Из вершины квадрата проведены прямые, делящие противоположные стороны пополам. Найти косинус угла между этими прямыми.
1.70. Даны вершины треугольника A(-3;-2;0), B(0;-2;4) и C(4;-2;1). Определить его внутренний угол A.
1.71. Найти вектор 
, коллинеарный вектору 
и удовлетворяющий условию 
.
1.72. Вычислить площадь треугольника с вершинами A(4;6;-2), B(7;4;4), C(1;1;6).
1.73. Найти высоту и площадь параллелограмма, построенного на векторах 
и 
.
1.74. Даны точки A(2;-1;3), B(1;2;0) и C(3;2;2). Найти координаты векторных произведений 1) 
; 2) 
.
1.75. Даны вершины треугольника A(5;-6;3), B(1;-1;3) и C(1;3;0). Вычислить длину его высоты, опущенной из вершины A на сторону BC.
1.76. Найти площадь параллелограмма, диагоналями которого служат векторы 
и 
, где 
и 
– единичные векторы, образующие угол 135˚.
1.77. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах 
, 
, 
.
1.78. Вычислить объем тетраэдра, вершины которого находятся в точках O(0;0;1), A(5;2;1), B(2;5;1) и С(1;2;5). Найти площадь грани ABC и высоту пирамиды, опущенную на эту грань.
1.79. Показать, что векторы , 
, 
компланарны и разложить вектор 
по векторам и 
.
1.80. Известны координаты трех вершин тетраэдра A(3;0;1), B(2;1;3), С(2;-1;-1). Найти координаты четвертой вершины D, если известно, что она лежит на оси Oy, а объем тетраэдра равен 5.
1.81. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат и имеет нормальный вектор. 
1.82. Найти угол между плоскостями:
1. x + y – 4z + 3 = 0 и x – 2y + 2z +4 = 0,
2. x + 5y – z – 6 = 0 и x – y – 3z + 6 = 0,
3. x – 2y + 2z – 2 = 0 и x + z – 5 = 0.
1.83. Даны две точки 
и 
. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку 
перпендикулярно вектору 
.
1.84. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку 
параллельно двум векторам 
, 
.
1.85.Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной к плоскостям x +2y – 2z = 1,
x – 2y +z= 4.
1.86. Найти расстояние точки (1;3;1) от плоскости 2x – y – 2z – 3 = 0.
1.87. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (3;-1;-2) и отсекающей на осях координат равные отрезки.
1.88. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M(1;0;2) и отсекающей на осях Ox и Oy отрезки a=2 и b=3.
1.89. Найти косинусы углов нормали плоскости 2x + y + 2z – 4 = 0 с осями координат.
1.90. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось Oz и через точку (3;4;-1).
1.91. Написать уравнение плоскости, проходящей через:
1) прямую 
и точку A(4;6;-3),
2) три точки A(-1;2;3), B(-2;11;4), С(-3;-2;1),
3) две параллельные прямые: 
и 
,
4) две пересекающиеся прямые 
и 
.
1.92. Написать канонические уравнения прямой:
1) проходящей через две точки A(1;-1;3), B(2;1;-1),
2) проходящей через точку A(3;1;2) и параллельной вектору 
.
1.93. Найти косинус угла между прямыми:
и 
.
1.94. Найти расстояние точки M(2;-1;3) до прямой 
.
1.95. Найти расстояние от точки M(1;2;2) до плоскости, проходящей через точки 
, 
, 
.
1.96. Даны вершины тетраэдра 
, 
, 
, 
. Найти:
1) длину ребра 
,
2) угол между ребрами и 
,
3) площадь грани 
,
4) длину высоты пирамиды, проведенной из вершины 
,
5) уравнения высоты пирамиды, проведенной из вершины ,
6) объем пирамиды.
1.97. Даны вершины треугольника A(3;-1;-1), B(1;2;-7) и С(-5;14;-3). Составить канонические уравнения биссектрисы его внутреннего угла при вершине B.
1.98. Составить уравнения прямой, которая проходит через точку
M(-1;-3;2) и пересекает две прямые 
; 
.
Ответы
1.1. 
1.2.(5;-3). 3. (5;0). 1.4.(4;0), (0;4), (-4,0), (0;-4). 1.5.(2;4), (4;3), (1;1). 1.6.(7;4) и (10;6). 1.7.(8,5; -7,5). 1.8. 
1.9. 
. 1.10. 
. 1.11.y+x-2=0. 1.12. 
. 1.13. 
.
1.14.x2+y2=4 1.15.y=-x+4. 1.16. y=3x+5. 1.17. 
. 1.18.y=x-1. 1.19. -x+7y-5=0,
-x+y-5=0, -x-2y+4=0. 1.20.x+y-4=0; x-y+4=0; y=3, y=0. 1.21. 
. 1.22. 
. 1.23. 
. 1.24.а) 45° б) 60°. 1.25. -2y+5x+4=0; -2y+5x-25=0.
1.26. -x-3y+2=0; -5x-y=4; -3x+y=12. 1.27. 
1.28. 
. 1.29. 
. 1.30. 
. 1.31.d=1. 1.32. 
.
1.33.3x+4y+6, 3x+4y+6, 3x+4y-14=0 или 3x+4y+6=0, 3x+4y+26. 1.34.4x+y+5=0, y-3=0. 1.35.Острый угол 
. 1.36.3x-19=0. 1.37.(1;2). 1.38. 
.
1.39.AB: x-y-7=0, CD: x+y-5=0; BE: 3x-y-13=0; CF: 5x+3y-19=0.
1.40. 
. 1.41.x2+y2+3y=0. 1.42.2x-y-2,5=0. 1.43. 
.
1.44. 
. 1.45.2. 1.46. 
. 1.47.1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
; 5) 
; 6) 
; 7) 
;
8) 
; 9) 
или ; 10) . 1.48.1) 
;
2) 
; 3) 
; 4) 
. 1.49. 
.
1.50. 
. 1.51.1) 
; 2) 
; 3) 
;
4) 
; 5) 
; 6) 
; 7) 
; 8) ;
9) 
. 1.52. 
. 1.53.1) y2=12x; 2) y2=10x; 3) x2=4y; 4) x2=-3y; 5) y2=-5x.
1.54. 
. 1.55.О1(-7; -1); y=-1. 1.56.1) (1;0); 2) (0;2); 3) (-1;0); 4) (0;-0,5). 1.57. 
.
1.58. 
. 1.59. 
. 1.60. 
. 1.61. 
.
1.62.D(-2;7;4). 1.63. 
. 1.64.Нет. 1.65. 
. 1.66.–2.
1.67. 
. 1.68. 
. 1.69.0,8.. 1.70.45°. 1.71. 
. 1.72.24,5.
1.73. 
. 1.74.1) 
; 2) 
. 1.75.5. 1.76. 
. 1.77.54.
1.78. 
, 
. 1.79. 
. 1.80.D1(0;-8;0) D2(0;-7;0).
1.81.x-2y+3z=0. 1.82.1) 45° 2) 
3) 45°. 1.83. -x+3z=0. 1.84.x+y+z-4=0.
1.85.2x-3y+4z=0. 1.86.2. 87.x+y-z=4. 1.88. 
. 1.89. 
.
1.90.4x+3y=0. 1.91.1) 19x-12y-13z-43=0. 2) -2x+3y-1=0. 3)y+z+2=0. 4) –18x+8y-15z+21=0.
1.92.1) 
, 2) 
. 1.93. 
. 1.94. 
. 1.95.3.
1.96.1) 
, 2) 
, 3) S=12, 4)Н1=3, 5) 
, 6) 12.
1.97. 
.1.98. 
.