Метод узловых потенциалов
Можно также уменьшить число уравнений для расчёта токов в электрической цепи, если составлять только узловые уравнения для токов. Выполнение второго закона Кирхгофа обеспечивается соответствующим выражением всех токов по закону Ома через разность потенциалов: Rlm
Рис. 11
. (40)
Выражая из этого уравнения ток, можно быть уверенным в том, что второй закон Кирхгофа выполняется автоматически:
; . (41)
В схеме рис. 10 число узлов У=5.
Токораспределение в схеме не изменится, если один из узлов схемы заземлить, т.е. принять потенциал этого узла равным нулю:
, а значит, .
Теперь известны потенциалы двух узлов, поэтому достаточно составить три уравнения для узлов а, в и d.
Система узловых уравнений в наиболее общем случае, т.е. когда в схеме имеются и источники ЭДС, и источники тока, имеет следующий вид (для схемы рис. 10):
(42)
где , , - суммарная проводимость всех ветвей, сходящихся соответственно в узлах а, в и d;
, , , и др. – проводимости ветвей между соответствующими узлами.
Очевидно, что , , , .
В правой части уравнения (42) стоит алгебраическая сумма произведений ЭДС на проводимости соответствующих ветвей, сходящихся в узле, а также алгебраическая сумма токов от источников тока, подходящих к этому же узлу. Произведение ЭДС Е на проводимость g берётся со знаком плюс, если ЭДС Е направлена к узлу схемы; и со знаком минус, - если ЭДС Е направлена от узла схемы. Ток от источника тока, притекающий к узлу берётся со знаком плюс, а ток, оттекающий от узла - со знаком минус.
Для схемы рис. 10 значения проводимости следующие:
;
; ;
;
;
; ;
;
.
Подставим полученные значения в уравнение (42):
(43)
Найдём определители этой системы:
;
;
;
.
Вычислим потенциалы узлов:
;
;
.
Найдём токи в ветвях по закону Ома:
;
;
;
;
;
;
.
Сравнительная таблица расчётов тремя методами
Сведём данные расчётов в табл. 1.
Таблица 1
Токи, А | |||||||
Метод контур- ных токов | -0,425 | 0,829 | 0,904 | 0,594 | -0,235 | 0,169 | -0,404 |
Метод узловых потенциалов | -0,425 | 0,829 | 0,904 | 0,594 | -0,235 | 0,169 | -0,404 |
Расчёт по зако-нам Кирхгофа | -0,425 | 0,829 | 0,904 | 0,594 | -0,235 | 0,169 | 0,169 |