Достаточное условие экстремума функции двух переменных с демонстрацией на конкретном примере.

Пусть ф-я z=f(x,y) определена и непрерывна в некоторой области и точка (х,у) принадлежит этой области. Тогда, точка (х_о,у_о) – точка локального max (min), если всюду в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство:

.

Достаточное условие экстремума (общий случай). Ф-я z=f(x₁,x₂,…,x_n) в точке М_о имеет:

1)max, если df(M_o)=0,

2)min, если df(M_o)=0,

Утверждение. Достаточное условие экстремума ф-и 2х перемных.

Пусть М_о(х_о,у_о) – стационарная точка. Вычислим в этой точке значение частных производных и обозначим их:

1)если Δ>0, то экстремум в стационарной точке существует и будет точкой max, если А<0 (С<0) и точкой min, если А>0 (С>0)

2)если Δ<0, то экстремума в стационарной точке нет

3)если Δ=0, то необходимо провести дополнительные исследования.

 

Например,