Алгоритм поиска локальных экстремумов.
1. Вычислить градиент целевой функции (ЦФ).
2. Найти множество критических точек задачи среди допустимыхточек. Если решение существует, оно обязательно совпадает с одной из критических точек.
3. Построить матрицу вторых частных производных ЦФ - матрицу Гессе.
4. Подставить критическую точку х* в матрицу Гессе 5. Принять решение о наличии и характере экстремума.
ПРИМЕР 7. Найти локальные экстремумы
► 1. Вычислим градиент целевой функции:
2. Функция F(x) дифференцируема во всех точках плоскости, значит в множество критических попадут только те точки, в которых обе частные производные равны 0:
Система имеет два решения, а функция, соответственно, две критические точки: y=(0,0), .
3. Матрица Гессе целевой функции имеет вид
4. В точке y матрица Гессе примет вид
Определитель полученной матрицы D = –36, в точке y экстремума нет.
Подставим в матрицу Гессе координаты точки z:
Угловые миноры полученной матрицы (D1=6, D2=108) свидетельствуют о том, что она является положительно определенной. Таким образом, точка является локальным минимумом функции. ◄