Алгоритм поиска локальных экстремумов.

1. Вычислить градиент целевой функции (ЦФ).

2. Найти множество критических точек задачи среди допустимыхточек. Если решение существует, оно обязательно совпадает с одной из критических точек.

3. Построить матрицу вторых частных производных ЦФ - матрицу Гессе.

4. Подставить критическую точку х* в матрицу Гессе 5. Принять решение о наличии и характере экстремума.

ПРИМЕР 7. Найти локальные экстремумы

► 1. Вычислим градиент целевой функции:

2. Функция F(x) дифференцируема во всех точках плоскости, значит в множество критических попадут только те точки, в которых обе частные производные равны 0:

Система имеет два решения, а функция, соответственно, две критические точки: y=(0,0), .

3. Матрица Гессе целевой функции имеет вид

4. В точке y матрица Гессе примет вид

Определитель полученной матрицы D = –36, в точке y экстремума нет.

Подставим в матрицу Гессе координаты точки z:

Угловые миноры полученной матрицы (D1=6, D2=108) свидетельствуют о том, что она является положительно определенной. Таким образом, точка является локальным минимумом функции. ◄