Рекурсивные цифровые фильтры.
Находят широкое применение при обработке относительно коротких дискретных последовательностей.
Рекурсивными фильтрами называются фильтры, в которых каждая выборка выходного сигнала формируется как взвешенная сумма некоторых предшествующих входных и выходных выборок.
Разностное уравнение такого фильтра
(1)
где - количество отсчётов выходного сигнала в предшествующие моменты порядок рекурсивного фильтра.
Структурная схема алгоритма фильтрации.
Принципиальное различие между трансверсальным и рекурсивным фильтрами заключается в свойствах их импульсных характеристик. В рекурсивном цифровом фильтре благодаря обратной связи число отсчётов теоретически бесконечно. БИХ – фильтрации.
Определим передаточную функцию рекурсивного цифрового фильтра.
Применим к разностному уравнению (1) преобразование Лапласа:
(2)
откуда следует, что (3)
где - число предшествующих входных отсчётов, - число предшествующих выходных отсчётов.
Полученную функцию можно трактовать как передаточную функцию каскадного соединения двух фильтров: одного с передаточной функцией (4) и вторую с передаточной функцией (5)
Таким образом (6)
Такому представлению соответствует каноническая схема трансверсального фильтра.
Применим - преобразование к передаточной функции (3) получим (7)
Фильтр осуществим при . Чтобы определить устойчив фильтр необходимо определить полюса функции (7). Фильтр устойчив если полюса функции расположены в плоскости единичного круга на плоскости .