Б) векторные диаграммы

Часто употребляемыми являются также так называемые векторные диаграммы. Они широко применяются при изучении гармонических колебаний, при изучении сложения колебаний и т.д. Любое гармоническое колебание можно представить следующим образом. Пусть начало некоторого вектора совпадает с началом координат (рис. 99), а сам он вращается вокруг начала координат с угловой скоростью, численно равной циклической частоте колебаний. Как видно из рисунка, в любой момент времени проекции вектора на оси координат численно равны и

Рис.100

Рис.99

Масштаб можно выбрать таким, что длина вектора будет численно равна амплитуде колебаний. Если же начальное угловое отклонение выбрать численно равным начальной фазе колебаний, то, как легко убедиться, в любой момент времени проекции вектора на оси координат будут изменяться по гармоническому закону, т.е. гармоническое колебание можно представить проекцией вектора, равномерно вращающегося относительно начала координат, на любую из осей. Скорость колеблющегося тела при этом равна , а ускорение . Следовательно, в определённом масштабе для определения скорости и ускорения тела в любой момент времени можно находить проекции векторов, смещённых относительно первого вектора соответственно на и , длины которых равны амплитудным значениям скорости и ускорения.

Весьма наглядным является сложение гармонических колебаний, представляемое с помощью векторных диаграмм. Предположим, что обе гармонические составляющие имеют одинаковую частоту изменения параметров (т.е. угловые скорости вращения обоих векторов одинаковы). Если начальные фазы составляющих различны, то векторы в пространстве не совпадают по направлению. Геометрическая сумма этих векторов определяет амплитуду результирующего колебания. Действительно, поскольку для гармонических колебаний справедлив принцип суперпозиции, то результирующее смещение, получаемое телом, должно равняться по этому принципу геометрической сумме смещений, получаемых телом за счёт участия в каждом из отдельных колебаний. Так как при одинаковой угловой скорости вращения слагаемых векторов их относительное расположение (рис.100) не будет изменяться с течением времени, то не будет изменяться, соответственно, и длина суммарного вектора (амплитуда результирующего колебания), который будет вращаться с той же угловой скоростью, что и слагаемые векторы. Таким образом, результирующее колебание будет происходить с той же циклической частотой, а его амплитуда численно равна геометрической сумме складываемых векторов.

Если же циклические частоты складываемых колебаний (угловые скорости вращения векторов) неодинаковы, то относительное расположение складываемых векторов с течением времени будет периодически изменяться, будет периодически изменяться и амплитуда результирующего колебания, принимая значения от нуля до величины, равной сумме амплитуд складываемых колебаний. Поскольку периодичность изменения амплитуды результирующего колебания (длины суммарного вектора) определяется относительной скоростью вращения векторов, то циклическая частота изменения амплитуды результирующего колебания должна определяться разностью циклических частот складываемых колебаний. Более подробно случай сложения одинаково направленных колебаний рассмотрим ниже.