Глобальная и кусочно-полиномиальная интерполяция

Пусть функция f(x) интерполируется на отрезке [a, b]. Метод решения этой задачи с помощью единого многочлена для всего отрезка называют глобальной полиномиальной интерполяцией. В вычислительной практике такой поход применяется редко в силу различных причин. Одна из причин v необходимо задать стратегию выбора узлов при интерполяции функции f многочленами все возрастающей степени n.

Теорема Фабера. Какова бы ни была стратегия выбора узлов интерполяции, найдется непрерывная на отрезке [a, b] функция f, для которой при . Таким образом, теорема Фабера отрицает существование единой для всех непрерывных функций стратегии выбора узлов. Проиллюстрируем сказанное примером.

Предположим, что выбираем равноотстоящие узлы, то есть , i = 0, 1,...n, где . Покажем, что для функции Рунге такая стратегия является неудачной.

 

ПРИМЕР 1. Глобальная интерполяция функции Рунге (рис. 10.1).

 

% Интерполяция функции Рунге

% Введём функцию Рунге

f = inline('1./(1+25*x.^2)');

% Вычислим таблицу значений

x = linspace(-1, 1, 10);

y = f(x);

% Проинтерполируем функцию Рунге многочленами Лагранжа

p = polyfit(x, y, 10);

xx = linspace(-1, 1, 100);

yy = polyval(p, xx);

axes('NextPlot', 'Add');

% Покажем, что глобальная аппроксимация плохо работает для функции Рунге

plot(x, y);

plot(xx, yy, 'Color', 'r');

Рис. 10.1 - Глобальная интерполяция функции Рунге

 

% С увеличением узлов сетки, ситуация только ухудщается

% Вычислим таблицу значений. 20 узлов сетки

x = linspace(-1, 1, 20);

y = f(x);

% Проинтерполируем функцию Рунге многочленами Лагранжа

p = polyfit(x, y, 20);

xx = linspace(-1, 1, 100);

yy = polyval(p, xx);

figure

axes('NextPlot', 'Add');

% Покажем, что глобальная аппроксимация плохо работает для функции Рунге

plot(x, y);

plot(xx, yy, 'Color', 'r');

Рис. 10.2 - интерполяция функции Рунге многочленами Лагранжа

На практике чаще используют кусочно-полиномиальную интерполяцию: исходный отрезок разбивается на части и на каждом отрезке малой длины исходная функция заменяется многочленом невысокой степени. Система Mathcad предоставляет возможность аппроксимации двумя важными классами функций: кусочно-линейной и сплайнами.

При кусочно-линейной интерполяции узловые точки соединяются отрезками прямых, то есть через каждые две точки , проводится полином первой степени.

 

ПРИМЕР 2. Кусочно-линейная интерполяция функции Рунге.

% Кусочно-линейная интерполяция функции Рунге

% Введём функцию Рунге

f = inline('1./(1+25*x.^2)');

% Вычислим таблицу значений

x = linspace(-1, 1, 10);

y = f(x);

% Начертим график кусочно-линейной аппроксимации (рис. 10.3)

plot(x, y);

Рис. 10.3 - график кусочно-линейной аппроксимации

 

Как видно из приведенного примера этот способ приближения также имеет недостаток: в точках «стыка» двух соседних многочленов производная, как правило, имеет разрыв.

Если исходная функция была гладкой и требуется, чтобы и аппроксимирующая функция была гладкой, то кусочно-полиномиальная интерполяция неприемлема. В этом случае применяют сплайны v специальным образом построенные гладкие кусочно-многочленные функции.