ШИРИНА СПЕКТРА

 

Чтобы оценить распределение энергии непериодических сигна­лов, как и в случае периодических сигналов, считают, что она вы­деляется в сопротивлении r=l Ом.

Для определения энергии непериодических колебаний, выде­ляемой в таком сопротивлении, используем выражение колебания через его спектральную плотность (16.4):

Изменив порядок интегрирования в правой части:

и учитывая, что выражение в квадратных скобках является со­пряженной спектральной плотностью функ­ции ƒ(t), получаем

так как

Полученное выражение (16.55) представляет теорему Релея, аналогичную равенству Парсеваля (15.19). Оно позволяет опре­делить энергию колебания через его спектральную плотность.

Так как S[(ω)]² — четная функция, то в выражении (16.55)

Из формулы (16.55) следует, что квадрат модуля спектраль­ной плотности, т. е. функция [S(ω)]², характеризует распределение энергии в спектре колебания f(t). Поэтому функция [S(ω)]² назы­вается его энергетическим спектром.

Под эффективной шириной спектра понимают диапазон частот, в пределах которого распределена основная часть энергии коле­бания (обычно 90%). Например, в случае одиночного прямоуголь­ного видеоимпульса около 90% полной энергии сигнала сосредо­точено в первом лепестке спектра (полоса частот от 0 до ). При этом чем короче импульс, тем шире полоса частот, в которой сосредоточена основная доля сигнала. Отсюда идет название «ширина спектра».

 

Пример 16.1.

Рассчитать энергию, распределенную в спектре одиночного прямоугольного видеоимпульса (см. рис. 16.1). Решение. Подстановкой выражения (16.20) в формулу (16.55) находим

так как

Пример 16.2.

Рассчитать энергию одиночного прямоугольного радиоимпульса (cм. рис. 16.3).

Решение.

Расчет проведем с помощью теоремы Релея (16.55). Для этого используем аналитическое представление радиоимпульса (16.22) и выражение (16.23) для его спектральной плотности.

В первом случае подстановкой выражения (16.22) в формулу (16.55) на­ходим

так как обычно

Во втором случае этот же результат получим подстановкой выражения (16.23) в формулу (16.55) с учетом равенств (16.24), (16.25) и (16.58):

В связи с широким применением радиоимпульсов на этом примере следует остановиться подробнее. Квадрат модуля спектральной плотности радиоим­пульса — четная функция. Однако если ее подставить непосредственно в виде выражения (16.23) в интеграл (16.56) с пределами интегрирования от 0 до или от — до 0, то одно из слагаемых в выражении (16.23) не будет учтено, что приведет к ошибке.