Сигналы с амплитудно-импульсной модуляцией
Рассмотрим схему получения выборок сигнала, отображенную на рис. 2. На один вход перемножителя поступает аналоговый сигнал , а на другой вход – периодическая последовательность коротких импульсов с амплитудой, равной единице, и частотой повторения (опроса) . На выходе перемножителя получаем выборки сигнала, следующие с частотой . Сигнал на выходе перемножителя называется сигналом с амплитудно-импульсной модуляцией (АИМ).
Рис. 2 – Схема получения выборок аналогового сигнала
Для получения спектра сигнала с АИМ необходимо в соответствии со схемой рис. 2 перемножить спектр сигнала и спектр периодической последовательности коротких импульсов. На рис. 3,а показаны спектр сигнала , спектр периодической последовательности коротких импульсов и спектр сигнала с АИМ.
Если спектр сигнала неограничен, то спектральные полосы сигнала с АИМ перекрываются (заштрихованная площадь на рис. 3,а) и выделение спектра сигнала из спектра сигнала с АИМ без искажений невозможно. Величина погрешности выделения спектра определяется степенью перекрытия спектральных полос сигнала с АИМ.
Перекрытие спектральных полос спектра сигнала с АИМ может отсутствовать только для сигналов с ограниченным спектром и при условии , что и составляет содержание теоремы Котельникова.
Спектр сигнала с АИМ для ограниченного спектра показан на рис. 3,б. В этом случае с помощью идеального фильтра нижних частот с прямоугольной амплитудно-частотной характеристикой с полосой пропускания от нуля до частоты возможно безошибочное выделение спектра и, следовательно, безошибочное восстановление сигнала по его выборкам. Из рис. 3,б следует, что минимальное значение частоты опроса определяется из условия и максимальное расстояние между соседними выборками для безошибочного восстановления сигнала .
Рис. 3 – Спектры сигналов с АИМ
При подаче на вход идеального фильтра нижних частот коротких выборок сигнала в моменты времени на его выходе появятся импульсы вида , так что результирующий сигнал на выходе идеального фильтра нижних частот без учета задержки в фильтре может быть записан в виде ряда (1), и в момент времени значение суммы
,
что иллюстрирует рис. 1.
Реальные сообщения всегда имеют конечную длительность и, следовательно, неограниченный спектр. В этом случае безошибочное восстановление аналогового сигнала по его выборкам невозможно из-за перекрытия спектральных полос сигнала с АИМ, и частота дискретизации определяется исходя из допустимой ошибки и спектра сигнала.