Примеры решения типовых задач

Пример № 1.Анализируется прибыль предприятия Y (млн. ден. ед.) в зависимости от расходов на рекламу X (млн. ден. ед.). По наблюдениям за 9 лет получены следующие данные:

y_i	5,0	7,0	13,0	15,0	20,0	25,0	22,0	20,0	17,0
х_i	0,8	1,0	1,8	2,5	4,0	5,7	4,3	5,3	3,9

1. Построить корреляционное поле. Выдвинуть предположение о характере статистической зависимости между переменными X и Y.

2. Найти параметры линейного уравнения регрессии . Поясните экономический смысл выборочного коэффициента регрессии.

3. Найти коэффициент парной корреляции и оценить тесноту связи на основе таблицы Чеддока.

4. Найти коэффициент детерминации R².

5. Оценить статистическую значимость уравнения регрессии на уровне 0,05, используя F-статистику.

6. Полученное уравнение регрессии изобразить графически. Сделать вывод о качестве построенной модели.

7. Вычислить прогнозное значение при прогнозном значении x₀, составляющем 130% от среднего уровня x.

Решение:

1.Построим корреляционное поле:

Анализ рисунка позволяет сделать предположение о наличии сильной линейной зависимости прибыли предприятия Y от расходов на рекламу X. При этом связь имеет положительную тенденцию, т.е. с увеличением расходов на рекламу увеличивается прибыль предприятия.

2. Найдем параметры линейного уравнения регрессии по формулам:

Рассчитаем сначала средние значения , , и .

№	y_i	х_i	х_i y_i	y_i²	х_i²
	5,0	0,8	4,0	25,0	0,6
	7,0	1,0	7,0	49,0	1,0
	13,0	1,8	23,4	169,0	3,2
	15,0	2,5	37,5	225,0	6,3
	17,0	3,9	66,3	289,0	15,2
	20,0	4.0	80,0	400,0	16,0
	20,0	5,3	106,0	400,0	28,1
	22,0	4,3	94,6	484,0	18,5
	25,0	5,7	142,5	625,0	32,5
Сумма		29,3	561,3	2666,0	121,4
Среднее		3,26	62,37	296,22	13,49

млн. ден. ед.

Таким образом, уравнение регрессии:

Выборочный коэффициент регрессии b показывает, что при увеличении расходов на рекламу на 1 млн. ден. ед. прибыль предприятия в среднем увеличивается на 3,55 млн. ден. ед.

3. Найдем коэффициент парной корреляции по формуле:

Таким образом, линейная связь между переменными X и Y прямая, очень сильная.

4. Коэффициент детерминации:

Таким образом, изменение прибыли предприятия Y на 90% обусловлено изменением расходов на рекламу и на 10% – действием других неучтенных в модели факторов.

5. Оценим статистическую значимость уравнения регрессии, используя F-статистику с 95% надежностью.

С помощью критерия Фишера проверяется нулевая гипотеза о статистической незначимости уравнения регрессии. Конкурирующая гипотеза – уравнение регрессии статистически значимо.

Наблюдаемое значение критерия Фишера вычисляется по формуле:

Найдем табличное значение критерия Фишера, определяется из специальной таблицы (см. приложение 2) с помощью трех чисел: уровня значимости и степеней свободы и :

Видно, что наблюдаемое значение критерия Фишера превосходит табличное. Таким образом, нулевая гипотеза о статистической незначимости уравнения регрессии отклоняется на уровне 0,05 и принимается конкурирующая гипотеза , т.е. признается статистическая значимость уравнения регрессии.

6. Построим линейное уравнение регрессии .

Можно сделать вывод о правомочности применения линейной регрессионной модели. Таким образом, полученное уравнение регрессии может быть использовано при прогнозировании.

7. Вычислим прогнозное значение при прогнозном значении x₀, составляющем 130% от среднего уровня x:

млн. ден. ед.

Пример № 2. Зависимость спроса на товар от его цены характеризуется по 20 наблюдениям уравнением: . Доля остаточной дисперсии в общей составило 18 %.

1. Запишите данное уравнение в виде степенной функции. 2. Определите индекс корреляции. 3. Оцените значимость уравнения регрессии через критерий ( 0,05). Сделайте выводы.

Решение:

1. Преобразуем исходное уравнение к степенному виду:

2.Найдем индекс корреляции:

3. Проверим статистическую значимость уравнения регрессии с помощью критерия Фишера на уровне значимости 0,05. Индекс корреляции равен 0,91, тогда индекс детерминации .

Проверяется нулевая гипотеза об отсутствии нелинейной связи между переменными X и Y, т.е. , конкурирующая гипотеза о наличии нелинейной связи между переменными X и Y, т.е. .

Рассчитаем наблюдаемое значение критерия Фишера:

Находим табличное значение критерия Фишера:

Сравним наблюдаемое и табличное значение критерия
Фишера:

Таким образом, нулевая гипотеза об отсутствии связи между переменными X и Y отклоняется на уровне значимости 0,05 и принимается конкурирующая гипотеза , т.е. признается статистическая значимость уравнения регрессии.

Пример № 3.Для изучения рынка жилья в городе по данным о 21 коттедже было построено уравнение множественной регрессии:

Стандартные ошибки параметров уравнения регрессии: , , , .

– расстояние до центра города, км; – полезная площадь объекта, м²; – число этажей в доме, ед.

Множественный коэффициент детерминации: .

Найдите скорректированный коэффициент детерминации. Оцените статистическую значимость параметров уравнения регрессии с помощью критерия Стьюдента на уровне 0,01.

Решение:

1. Найдем скорректированный коэффициент детерминации:

2. Оцените статистическую значимость параметров уравнения регрессии с помощью критерия Стьюдента на уровне 0,01.

Проверяется нулевая гипотеза о статистической незначимости, т. е. случайной природе параметров уравнения регрессии, конкурирующая гипотеза о неслучайности параметров уравнения регрессии.

Рассчитаем наблюдаемые значения критерия Стьюдента:

Найдем табличное значение критерия Стьюдента (см. приложение 4):

Сравним табличное значение критерия Стьюдента с наблюдаемыми значениями. Делаем вывод о статистической значимости параметров , , . Параметр статистически незначим, поэтому переменную необходимо исключить из уравнения регрессии.

Пример № 4.В результате исследования зависимости среднедневной заработной платы Y от среднедушевого прожиточного минимуме в день одного трудоспособного Х по n территориям региона было получено линейное уравнение регрессии . Исследуйте остатки данного уравнения регрессии на гетероскедастичность с помощью теста Голдфельда-Квандта на уровне значимости 0,05, если остаточные суммы квадратов для первой и второй групп соответственно равны и ; число степеней свободы остаточных сумм квадратов равны .

Решение:

Проверяется нулевая гипотеза об отсутствии гетероскедастичности остатков.

Конкурирующая гипотеза – наличие гетероскедастичности остатков.

Наблюдаемое значение критерия Фишера находим по формуле:

Находим табличное значение критерия Фишера:

Сравним наблюдаемое и табличное значение критерия Фишера:

Таким образом, нулевая гипотеза об отсутствии гетероскедастичности остатков отклоняется на уровне значимости 0,05 и принимается конкурирующая гипотеза , т.е. признается гетероскедастичность остатков.

Пример 5.Для линейного уравнения регрессии исследуйте остатки на наличие автокорреляции на уровне значимости 0,01, используя тест Дарбина-Уотсона, если известны значения и ; число наблюдений равно 20.

Решение:

Проверяется нулевая гипотеза об отсутствии автокорреляция. Конкурирующие гипотезы – и соответственно о наличии положительной и отрицательной автокорреляции в остатках.

Рассчитаем критерий Дарбина-Уотсона по формуле:

По таблице критических точек Дарбина Уотсона определим (нижнее) и (верхнее) значения критерия Дарбина-Уотсона для заданного числа наблюдений , числа независимых переменных модели и уровня значимости 0,01: ; (см. приложение 3).

По этим значениям числовой промежуток разобьем на пять отрезков. Вывод о наличии (или отсутствии автокорреляции) делается по правилу:

a. если , то существует положительная автокорреляция; гипотеза отклоняется и с вероятностью принимается гипотеза ;

b. если , то попадаем в так называемую зону неопределенности и не имеем возможности ни опровергнуть, ни принять ни одну из гипотез.

c. если , то нет оснований отклонить нулевую гипотезу: автокорреляция остатков отсутствует;

d. если , то попадаем в так называемую зону неопределенности и не имеем возможности ни опровергнуть, ни принять ни одну из гипотез.

e. если , то существует отрицательная автокорреляция: гипотеза отклоняется и с вероятностью принимается гипотеза .

Найденное значение критерия Дарбина-Уотсона попадает в первый интервал ( ). Таким образом, можно сделать вывод о наличии положительной автокорреляции на уровне значимости 0,01.

Пример № 6.В результате анализа динамики объема продаж продукции торгового предприятия за 2000-2013 гг. было выявлено, что модель временного ряда имеет только трендовую составляющую млн. руб. (где t = 1, 2, …, 14). Сделайте точечный и интервальный прогноз объема продаж продукции предприятия в момент (т.е. на 2015 г.), если уровень значимости равен 0,05, остаточная сумма квадратов .

Решение:

Точечный прогноз:

Предельная ошибка прогноза:

= 7,5.

Табличное значение критерия Стьюдента:

Интервальный прогноз:

Таким образом, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что в 2015 г. объем продаж продукции будет в диапазоне от 10,0 до 11,4 млн. руб.

Пример № 7.Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентифицировано ли каждое из уравнений модели мультипликатора-акселератора:

где C – расходы на потребление;

R – доход;

I – инвестиции;

t – текущий период;

t-1 – предыдущий период.

Решение:

Модель включает три эндогенные переменные ( , , ) и две предопределенные переменные (две лаговые эндогенные переменные и ).

Проверим необходимое условие идентификации для каждого уравнения модели.

Необходимое условие идентификации (НУИ): – уравнение идентифицируемо; – уравнение неидентифицируемо; – уравнение сверхидентифицируемо.

– число предопределенных переменных, отсутствующих в анализируемом (рассматриваемом) уравнении, но присутствующих в системе; – число эндогенных переменных, которые присутствуют в рассматриваемом уравнении. Предопределенные переменные – это экзогенные и лаговые (за предыдущие моменты времени) эндогенные переменные.

Первое уравнение. Уравнение включает в себя две эндогенные переменные ( и ) и не включает одну предопределенную переменную ( ). Таким образом, 1+1=2, т.е. уравнение идентифицируемо.

Второе уравнение. Уравнение включает в себя две эндогенные переменные ( и ) и не включает одну предопределенную переменную ( ). Таким образом, 1+1=2, т.е. уравнение идентифицируемо.

Третье уравнение. Уравнение включает в себя три эндогенные переменные ( , и ) и не включает две предопределенных переменных ( и ). Таким образом, 2+1=3, т.е. уравнение идентифицируемо.

Проверим теперь достаточное условие идентификации для каждого уравнения модели.

Достаточное условие идентификации (ДУИ):

Определитель матрицы, составленный из коэффициентов, отсутствующих в исследуемом уравнении, не равен 0, и ранг этой матрицы не менее числа эндогенных переменных системы без единицы:

(1)

Составим матрицу коэффициентов при переменных рассматриваемой модели:


Первое уравнение	-1
Второе уравнение		-1
Третье уравнение			-1

Первое уравнение.Матрица при переменных, которые не входят в уравнение, имеет вид:

Определитель данной матрицы не равен нулю:

Ранг матрица A равен двум, поскольку определитель квадратной матрицы A не равен нулю. Тогда 2 > 2 - 1, т.е. выполняется второе неравенство системы (1). Таким образом, достаточное условие идентификации для первого уравнения выполняется.

Второе уравнение.Матрица при переменных, которые не входят в уравнение, имеет вид:

Определитель данной матрицы не равен нулю:

Ранг матрица A равен двум, поскольку определитель квадратной матрицы A не равен нулю. Тогда 2 > 2 - 1, т.е. выполняется второе неравенство системы (1). Таким образом, достаточное условие идентификации для второго уравнения выполняется.

Третье уравнение.Матрица при переменных, которые не входят в уравнение, имеет вид:

Определитель данной матрицы не равен нулю:

Ранг матрица A равен двум, поскольку определитель квадратной матрицы A не равен нулю. Тогда 2 = 3 - 1, т.е. выполняется второе неравенство системы (1). Таким образом, достаточное условие идентификации для третьего уравнения выполняется.

Таким образом, исследуемая система идентифицируема.