Расчет двухуровневого “дерева” решений

Пример 7. Банк решает вопрос, проверять ли конкурентоспособность клиента перед тем, как выдавать заем. Аудиторская фирма берет с банка 80 ф. ст. за каждую проверку. В результате этого перед банком встают две проблемы: первое – проводить или нет проверку, вторая – выдавать после этого заем или нет.

Решая первую проблему, банк проверяет правильность выдаваемых аудиторской фирмой сведений. Для этого выбираются 1000 человек, которые были проверены и которым в последствии выдавались ссуды:

Таблица 24. Рекомендация аудиторской фирмы и возврат ссуды.

Какое решение должен принять банк?

Решение:

Этап 1. Построим “дерево”, рис .3. Вероятности проставляются по данным этапа 2.

Этап 2. Используя данные табл. 24, вычислим вероятность каждого исхода:

Р(клиент ссуду вернет; фирма рекомендовала) = 7.35 / 750 = 0.98;

Р(клиент ссуду не вернет; фирма рекомендовала) = 15 / 750 = 0.02;

Р(клиент ссуду вернет; фирма не рекомендовала) = 225 / 250 = 0.9;

Р(клиент ссуду не вернет; фирма не рекомендовала) = 25 / 250 = 0.1.

Этап 3. На данном этапе слева направо проставляем денежные исходы каждого из “узлов”, используя конечные результаты, вычисленные ранее. Любые встречающиеся расходы вычитаются из ожидаемых доходов. Таким образом подсчитывается все “дерево”, опираясь на ранее полученные результаты. После того, как пройдены квадраты “решений”, выбирается “ветвь”, ведущая к наибольшему из возможных при данном решении ожидаемому доходу. Другая “ветвь” зачеркивается, а ожидаемый доход проставляется над квадратом решения.

Рассмотрим кружки исходов В и С, являющиеся следствием квадрата 2 (выдавать ли заем клиенту?)

Доход, ожидаемый от исхода В:

Е(В)=17250 ф. ст.×0.98+0×0.02=16905 ф. ст.,

Чистый ожидаемый доход:

NЕ(В)=16905-15000=1905 ф. ст.

Доход, ожидаемый от исхода С:

Е(С)=16350 ф. ст.×1.0=16350 ф. ст.,

Чистый ожидаемый доход:

NЕ(В)=16350-15000=1350 ф. ст.

Рис. 3. “Дерево” решений для банка с учетом аудиторской проверки

Находясь в квадрате 2. Максимальный ожидаемый доход 1905 ф. ст. в кружке В, поэтому принимаем решение выдавать заем.

Приняв решение, корректируем “дерево”, проставив чистый ожидаемый доход 1905 ф. ст. над квадратом 2. “Ветвь” - не давать заем – зачеркивается, как это показано на рис. 4.

Тоже самое с кружками исходов D и Е результатами решения 3.

Доход, ожидаемый от исхода D:

Е(D)=(17250 ф. ст.×0.9)+(0×0.1)=15525 ф. ст.,

Чистый ожидаемый доход:

NЕ(D)=15525-15000=525 ф. ст.

Доход, ожидаемый от исхода Е:

Е(Е)=16350 ф. ст.×1.0=16350 ф. ст.,

Чистый ожидаемый доход:

NЕ(В)=16350-15000=1350 ф. ст.

Находясь в квадрате 3, максимальный ожидаемый доход равен 1350 ф. ст. и можно было бы принимать решение выдавать заем. Далее скорректируем эту часть схемы: над квадратом 3 впишем чистый ожидаемый доход и принимаем решение выдавать заем.

Рассчитаем кружки исходов F и G, которые являются результатами решения 4.

Е(F)=17250 ф. ст.×0.96+0×0.04=16560 ф. ст.;

NE(F)=16560-15000=1560 ф. ст.;

Е(G)=16350×1.0=16350 ф. ст.;

NE(G)=16350-15000=1350 ф. ст.

В квадрате 4 максимальный ожидаемый чистый доход составляет 1560 ф. ст., и поэтому принимаем решение выдать клиенту ссуда. Сумма 1560 ф. ст. вписывается над квадратом 4, а альтернативная “ветвь” перечеркивается.

В “узлах” А и 1 используя ожидаемые чистые доходы над квадратами 2 и 3, рассчитываем математическое ожидание для кружка А:

Е(А)=(1905 ф. ст.×0.75)+(1350 ф. ст.×0.25)=1766 ф. ст.

Так как аудиторская проверка стоит 80 ф. ст., ожидаемый чистый доход:

NE(А)=1766-80=1686 ф. ст.

Проставляем значение первого решения квадрата 1. Должен ли банк воспользоваться аудиторской проверкой? В этом “узле” максимальное математическое ожидание – 1686 ф. ст., поэтому перечеркиваем альтернативную “ветвь”.

На рис. 4. Стрелками показана последовательность решений, ведущая к максимальному чистому доходу: в квадрате 1воспользуемся аудиторской проверкой. Если выдача займа рекомендуется фирмой, тогда в квадрате 2 – выдать ссуду, если не рекомендуется, то в квадрате 3 – не выдавать ссуду, а инвестировать эти деньги под стабильные 9% годовых. “Дерево” окончательных решений для примера 7 приведено на рис. 4.

Рис. 4. Окончательное “дерево” решений для примера 7

Пример 8. Фирма “Tranda plc”, занимающаяся исследованием рынка, рассчитывает расширить свою деятельность, снабдив персональными компьютерами персонал, занимающийся сбором данных. Проблема состоит в том, покупать ли компьютеры или арендовать. Предсказать рост масштабов деятельности фирму в ближайшие четыре года нельзя, но возможно разделить его на значительный, средний и незначительный. Вероятность значительного роста масштаба деятельности в первый год после установки компьютеров составляет 0.6; среднего и незначительного – 0.3 и 0.1 соответственно. В последующие три года рост может оцениваться как значительный и незначительный. Подсчитано, что если рост значительный в первый год, то вероятность того, что он останется таким же в последующие три года, равен 0.75. Средний рост первого года изменится на незначительный последующие годы с вероятностью 0.5. А незначительный таким же и останется с вероятностью 0.9. Чистый наличные доходы, вызванные этими изменениями, приведены в табл. 25.

Таблица 25. Доходы наличности.

Стоимость компьютеров – 35000 ф. ст. Условия аренды: первоначальный взнос - 15000 ф. ст. плюс 25% чистой наличной выручки на конец года. Компания рассчитывает получать 12% годовой прибыли на вложенный капитал.

Для того, чтобы решить, должна ли фирма покупать или арендовывать компьютеры, воспользуемся “деревом”. Критерием принятия решения является максимизация ожидаемой чистой выручки с учетом 12% приращения капитала в год.

Решение:

Этап 1. Составляем “дерево” для покупки-аренды компьютеров. Обе половины

“дерева” – покупка и аренда – не зависит от начальных затрат, а зависит только от сумм предполагаемого дохода, которые рассчитываются на конечном этапе.

Рис. 5. “Дерево” решений для покупки или аренды

Этап 2. Подсчитываем суммы, получаемые за 1 – 4 годы работы. Значение доходов, проставленные в крайней правой части “дерева” - это доходы за 2 – 4 годы, соответствующие сегодняшнему уровню доходов (табл. 25) с учетом годовой 12% надбавки, которую предусматривает фирма.

Если в конце года компания получает А ф. ст. и рассчитывает на 12% годового прироста, то тогда сегодняшнее (текущее) значение А ф. ст. для 2 – 4 года работы будет равно:

Текущие значение

По этому в “узле” I, где А (доход за год) должно быть равно 20000 ф. ст., текущие значение дохода за 2 – 4 годы с учетом 12% годовых:

PV_I=20000 ф. ст. ×2.1445=42890 ф. ст.

Аналогично цифра для J:

PV_J=11000 ф. ст. ×2.1445=23590 ф. ст.

Чередуясь, эти два значения повторяются от К до Т.

Этап 3. Используя текущие значения доходов (present value), можно вычислить математическое ожидание исходов от С до Н. В исходе С несмещенная величина ожидаемого текущего дохода за годы 2 – 4 равна:

ЕРV_C(годы 2 – 4)=(42890 ф. ст. × 0.75)+(23590 ф. ст. × 0.25)=38065 ф. ст.

На первом году работы этой величине соответствует доход в 20000 ф. ст., текущая величина этой суммы равна:

20000/1.12=17857 ф. ст.

Следовательно, ожидаемая текущая стоимость “узла” С за 1 – 4 годы:

ЕРV_C(годы 1 – 4)=38065+17857=55922 ф. ст.

Исход “узла” Е, ожидаемая текущая стоимость доходов за 1 – 4 годы:

ЕРV_Е=((42890×0.1)+(23590×0.9))+11000/1.12=35341 ф. ст.

В результате симметрии ожидаемые текущие величины доходов в кружках F, G, H составляют 55922 ф. ст., 45740 ф. ст. и 35341 ф. ст. соответственно. На этом расчеты по правой стороне “дерева” заканчиваются, далее вычисляются ожидаемые текущие доходы в “узлах” А и В. Для обоих “узлов” значение доходов одинаковые.

EPV_A= EPV_В=55922×0.6+45740×03+35341×0.1=50809 ф. ст.

Чистый ожидаемый текущий доход по А (если компьютеры будут куплены) составит:

EPV_A=ожидаемая текущая стоимость – стоимость покупи=50809 – 35000=15809 ф. ст.

Для расчета низко ожидаемой текущий стоимости по “узлу” В вычисляем стоимость аренды – 15000 ф. ст., которые выплачиваются сразу, плюс 25% чистого годового дохода наличности. Ожидаемая текущая величина дохода наличности составляет 50809 ф. ст. Следовательно, ожидаемая текущая величина стоимости аренды равна:

15000 ф. ст.+25% от 50809 ф. ст.=15000+12702=27702 ф. ст.

Отсюда чистая ожидаемая текущая стоимость по исходу В (если компьютеры будут взяты в аренду) составит:

50809 ф. ст. – 27702 ф. ст. = 23107 ф. ст.

Теперь рассмотрим квадрат 1. максимизируя ожидаемую текущую величину чистых доходов, сравним значение исходов кружка А (15809 ф. ст. при покупке) со значением в кружке В (23107 ф. ст. при аренде). Из чего следует, что компания должна арендовать компьютеры. Окончательная схема для примера 8 приведена на рис. 6.

Рис. 6. Окончательное “дерево” решений для примера 8

 

“Дерево” и анализ чувствительности решений

Решения, принимаемые при помощи “дерева”, зависят от вероятности исходов. Чувствительность решения определяется размером изменений вероятности. Выбирая решение, должны знать, насколько оно зависит от изменений вероятностей, и, следовательно, насколько можно полагаться на этот выбор.

Пример 9. Компанией “Cacus Chemical Company” был разработан новый товар. Вполне вероятно, что для него существует рынок сбыта на ближайший год. Наличие в производственном процессе высокотемпературных реакции повышает его стоимость до 2.5 млн. ф. ст. Для организации производственного процесса потребуется один год, однако, существует лишь 55% вероятности, что будет обеспечена должная технологическая безопасность процесса. В связи с этим перед компанией встал вопрос о разработки компьютерной контролирующей системы (ККС), которая будет обеспечивать безопасность высокотемпературных реакций. Исследования по ККС продолжаются год и будут стоить 1 млн. ф. ст. Вероятность получение требуемой ККС – 0.75.

Разработку ККС можно начать либо немедленно, либо продолжать год до выяснения технологической безопасности процесса. Если разработку начать немедленно, а производственный процесс окажется безопасным, ККС окажется бесполезной

(убыток – 1 млн. ф. ст.). С другой стороны если отложить разработку ККС, а процесс производства не будет соответствовать стандартам, то выпуск нового товара отодвигается на год до окончания исследований. И наконец, если не возможно создать безопасный процесс и работа над ККС окажется безуспешной, а альтернативного пути выпуска товара не существует, и работы по этому процессу необходимо прекратить. В случае если продажа нового товара начинается в течении года, то прибыль составит 10 млн. ф. ст., если не принимать в расчет амортизацию по производственному процессу, или ККС. Если отложить выпуск товара на 1 год, прибыль упадет до 8.5 млн. ф. ст. из-за возможного появления конкурентов на рынке. Для облегчения расчетов не будем учитывать расходы на создание ККС.

Составляем “дерево” охватывающее все возможные варианты развития событий

Как поступить руководству компании?

Как должна измениться вероятность успешной разработки производственного процесса (на сегодняшний день определенная в 0.55), чтобы руководство не изменило свой предположения в вопросе 2? Имеет ли решение этого вопроса некоторый запас прочности (чувствительность) при изменении вероятности?

Рис. 7. “Дерево” решений для примера 9

Решение:

“Дерево” решений для этой задачи представлено но рис. 7.

Для того чтобы оформить “дерево”, учитываем ожидаемый чистый доход по “узлам”. Ожидаемый доход в кружке D:

8.5×0.75+0×0.25=6.375 млн. ф. ст.

Ожидаемый чистый доход:

6.375 млн. ф. ст.-1 млн. ф. ст.=5.375 млн. ф. ст.

В кружке Е ожидаемый чистый доход равен 0. Следовательно, если в квадрате 2 компания решит разработать ККС, то получим чистый доход 5.375 млн. ф. ст.

В “узле” исхода А ожидаемый чистый доход:

(10×0.55+5.375×0.45)-2.5=5.419 млн. ф. ст.

В “узле” В ожидаемый чистый доход:

(10×0.55+(10×0.75+0×0.25)×0.45)-3.5=5.375 млн. ф. ст.

Поэтому в “узле” 1 компания выбирает разработку только производственного процесса. Если через год окажется, что он не безопасен, то приступят к разработке ККС.

Ожидаемый чистый доход составит 5.419 млн. ф. ст. Окончательный вариант “дерева” для примера 9 приведен на рис 8.

3. Чувствительность решения. Ожидаемые чистые доходы в “узлах” А и В почти одинаковы: 5.419 и 5.375 млн. ф. ст. Выбор решения зависит от значения вероятности. А анализ чувствительности позволяет вычислить “разброс” вероятностей, которые меняют выбор.

Рис. 8. Окончательное “Дерево” решений для примера 9

В данном случае рассмотрим только вероятность безопасности производственного процесса, однако, на математические ожидания повлияло бы также наличие и функционирование ККС. Полный анализ чувствительности включает рассмотрение обоих вопросов. Обозначим вероятность безопасности производственного процесса через р. На данный момент р = 0.55.

Ожидаемый чистый доход в “узле” А равен:

10×р+5.375×(1-р)-2.5=4.625р+2.875 млн. ф. ст.

Ожидаемый чистый доход в “узле” В равен:

10×р+(10×0.75+(0×0.25)×(1-р)-3.5=2.5р+4.0 млн. ф. ст.

Уравнивание этих результатов дает:

4.625р+2.875=2.5р+4.0

2.125р=1.125

р=0.529

Следовательно, если вероятность безопасности производственного процесса равна 0.529, то оба альтернативных решения принесут одинаковый ожидаемый чистый доход. Если вероятность меньше 0.529, то решение начать разработку процесса и ККС незамедлительно принесет больший ожидаемый чистый доход, т.е. первоначальное решение будет заменено на альтернативное.

Так как значение р=0.529 очень близко к р=0.55, выбор решения очень чувствителен к расчетам величины вероятности, и малейшая ошибка может привести смене выбора, что доказывает важность анализа чувствительности в процессе принятия решений.