Системы эконометрических уравнений: виды, оценка параметров, области применения на практике

Сложные экономические процессы описывают с помощью системы взаимосвязанных уравнений. Различают несколько видов систем уравнений:

1. Система независимых уравнений - когда каждая зависимая переменная у рассматривается как функция одного и того же набора факторов х:

y₁=a₁₁*x₁+a₁₂*x₂+…+a_1m*x_m+e₁

y_n=a_n1*x₁+a_n2*x₂+…+a_nm*x_m+e_n

2.Система рекурсивных уравнений – когда зависимая переменная у одного уравнения выступает в виде фактора х в другом уравнении:

y₁=a₁₁*x₁+a₁₂*x₂+…+a_1m*x_m+e₁

y₂=b₂₁*y₁+a₂₁*x₁+a₂₂*x₂+…+a_2m*x_m+e₂

y₃=b₃₁*y₁+b₃₂*y₂+a₃₁*x₁+a₃₂*x₂+…+a_3m*x_m+e₃

y_n=b_n1*y₁+b_n2*y₂+…+b_nn-1*y_n-1+a_n1*x₁+a_n2*x₂+…+a_nm*x_m+e_n

Система взаимосвязанных уравнений – когда одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других – в правую.

y₁₌b₁₂*y₂+b₁₃*y₃+…+b_1n*y_n+a₁₁*x₁+a₁₂*x₂+…+a_1m*x_m+e₁

y₂=b₂₁*y₁+b₂₃*y₃+…+b_2n*y_n+a₂₁*x₁+a₂₂*x₂+…+a_2m*x_m+e₂

y_n=b_n1*y₁+b_n2*y₂+…+b_nn-1*y_n-1+a_n1*x₁+a_n2*x₂+…+a_nm*x_m+e_n

Такая система уравнений называется структурной формой модели. Эндогенные переменные – взаимосвязанные переменные, которые определяются внутри модели (системы) у. Экзогенные переменные – независимые переменные, которые определяются вне системы х. Предопределенные переменные – экзогенные и лаговые (за предыдущие моменты времени) эндогенные переменные системы. Коэффициенты a и b при переменных – структурные коэффициенты модели. Система линейных функций эндогенных переменных от всех предопределенных переменных системы - приведенная форма модели.

где - коэффициенты приведенной формы модели.

Проблема идентификации:

Структурный параметр называется идентифицируемым, если он может быть однозначно определён с помощью метода МНК. Уравнение идентифицируемо, если идентифицируемы все входящие в него структурные параметры.

Структурный параметр называется неидентифицируемым, если его значение невозможно получить, даже зная точные значения параметров приведённой формы.

Структурный параметр называется сверхидентифицируемым, если КМНК даёт несколько различных его оценок.

Для проверки структурной модели на идентификацию, нужно проверить каждое уравнение системы:

Модель считается идентифицируемой, если каждое уравнение идентифицируемо
Если хотя бы одно уравнение неидентифицируемо, то модель считается неидентифицируемой
Если в модели нет неидентифицируемых уравнений, но присутствует хотя бы одно сверхидентифицируемое, то модель – сверхидентифицируемая

Необходимое условие идентификации – выполнение счетного правила:

D+1=H –уравнение идентифицируемо;

D+1<H – уравнение неидентифицируемо;

D+1>H – уравнение сверхидентифицируемо.

Где Н – число эндогенных переменных в уравнении, D – число предопределенных переменных, отсутствующих в уравнении, но присутствующих в системе.

Достаточное условие идентификации – определитель матрицы, составленной из коэффициентов при переменных, отсутствующих в исследуемом уравнении на равен нулю и ранг этой матрицы не менее эндогенных переменных без единицы.

Для решения идентифицируемого уравнения применяется КМНК, для решения сверхидентифицируемых – двухшаговый МНК.

Пример:

Имеется система структурных уравнений:

Проверим ее на идентификацию

Первое уравнение. Необходимое (счетное) условие: n_x=2 (отсутствуют х₂, х₃), n_y=3, 1+n_x=n_y – уравнение идентифицируемо.

Составим матрицу коэффициентов при отсутствующих переменных (y₃и х₃):

Уравнение	х₂	х₃
	а₂₂	а₂₃

Определитель матрицы коэффициентов равен нулю, ранг матрицы равен единице, он меньше числа экзогенных переменных в системе без одного (3-1=2). Достаточное условие не выполняется, уравнение нельзя признать идентифицируемым по ранговому правилу.

Для второго уравнения выполняются необходимое и достаточное условия идентификации.

Счетное правило: n_x=1 (отсутствует х₁), n_y=2, 1+n_x=n_y – уравнение идентифицируемо.

Матрица коэффициентов:

Уравнение	у₃	х₁
	b₁₃	а₁₁
		а₃₁

Определитель матрицы не равен нулю. Ранг матрицы равен двум, он равен числу экзогенных переменных в системе без одного (3-1=2). Итак, второе уравнение системы точно идентифицируемо.

Для третьего уравнения выполняется необходимое условие:

n_x=2 (отсутствуют х₂и х₃), n_y=3, 1+n_x= n_y.

Матрица коэффициентов:

Уравнение	х₂	х₃

	а₂₂	а₂₃

Определитель матрицы равен нулю. Ранг матрицы равен единице, он меньше числа экзогенных переменных в системе без одного (3-1=2). Итак, третье уравнение системы неидентифицируемо по ранговому правилу.

Наша система идентифицируема по счетному правилу (необходимое условие идентификации), но ее нельзя признать идентифицируемой по достаточному условию (ранговое правило не выполняется для первого и третьего уравнений системы).

Косвенный метод наименьших квадратов:

Препятствие к применению МНК – коррелированность эндогенных переменных со случайными членами - легко преодолеть, если:

1. Привести систему к виду, чтобы в правой части оставались только экзогенные переменные (такая форма называется приведённой).

2. Затем применить МНК к каждому уравнению в приведённой форме и получить оценки её параметров.

3. Перейти от приведённой формы к структурной, проводя процедуру обратного преобразования параметров.

Эта методика и получила название КМНК и позволяет получить состоятельные и несмещённые оценки параметров системы одновременных уравнений в структурной форме.

Двухшаговый метод наименьших квадратов:

Двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК) является универсальным, позволяет решать как точно идентифицируемые, так и мверхидентифицируемые системы структурных уравнений. Значимость этого метода определяется тем, что он позволяет находить параметры сверхидентифицируемых систем, оценить которые косвенным методом нельзя.

Реализуется в следующей последовательности:

1. Система приводится к приведённой форме также, как и при КМНК

2. Применяется МНК к каждому уравнению в приведённой форме, получаем оценки её параметров

3. Находим расчётные значения эндогенных переменных, подставляя значения экзогенных переменных в соответствующие приведённые уравнения по всем единицам совокупности

4. Подставляем в структурную форму фактические значения экзогенных переменных и тех эндогенных переменных, которые находятся в левой части, и расчётные значения эндогенных переменных, находящихся в правой части системы, а затем применить МНК (замена фактич значений эндогенных переменных, находящихся в правой части системы, решает проблему их коррелированности с ошибками регрессии).

!!!!!! Дополнение к вопросу о применении систем уравнений:+смотрите практикум по эконометрике, где решали такие задачи!!!!

Рассмотрим основные направления практического использования эконометрических систем уравнений. Наиболее широко системы одновременных уравнений применяются для моделирования макроэкономики. Большинство из них построено на основе кейнсианских моделей.

Статическая модель Кейнса для описания народного хозяйства страны в наиболее простом варианте имеет следующий вид (в современных показателях системы национального счетоводства России):

где С – конечное потребление в постоянных ценах;

у – валовой располагаемый национальный доход (ВРНД) в постоянных ценах;

– случайная составляющая;

I – валовые инвестиции в постоянных ценах (валовое сбережение).

Второе уравнение является тождеством, поэтому структурный коэффициент b не может быть больше 1. Он характеризует предельную склонность к потреблению. Так, если b=0,5, то из каждого дополнительного рубля дохода на потребление расходуется 50 копеек и 50 копеек инвестируется. Если b>1, то y < C+I – на потребление расходуются не только доходы, но и сбережения прошлых лет.

Система приведенных уравнений:

Приведенная форма модели содержит мультипликаторы:

- инвестиционный мультипликатор потребления:

;

- инвестиционный мультипликатор национального дохода:

Мультипликаторы интерпретируются как коэффициенты линейной регрессии, т.е. они показывают, на сколько единиц изменится эндогенная переменная, если экзогенная переменная изменится на единицу.

Например, если b=0,5, то . Из чего следует, что при росте инвестиций на 1 рубль, потребление так же увеличится на 1 рубль.

, т.е. дополнительные инвестиции в размере 1 рубля приведут при прочих равных условиях к дополнительному росту чистого национального дохода на 2 рубля.

Кроме статических моделей широко применяются для моделирования экономики динамические модели. Динамическая модель Кейнса:

где – валовой располагаемый национальный доход;

– конечное потребление домашних хозяйств;

– валовой национальный доход;

– (ВРНД) предыдущего года t;

– конечное потребление государственных учреждений;

– валовое накопление основного капитала;

– изменение запасов материальных оборотных средств и чистое приобретение ценностей;

– сальдо платежного баланса (чистые трансферты, полученные от «остального мира»).

Параметр а отражает влияние других, не учтенных факторов потребления. Первое уравнение является сверхидентифициуемым, второе и третье – тождествами.

Динамические модели обязательно содержат в правой части лаговые переменные. А также возможен учет тенденции, т.е. в модель может быть включен фактор времени.