Выбор вида модели и оценка ее параметров

Для отображения зависимости переменных могут использоваться показательная, параболическая и многие другие функции. Однако в практической работе наибольшее распространение получили модели линейной взаимосвязи, т.е. когда факторы входят в модель линейно.

Линейная модель множественной регрессии имеет вид:

Y_i= а₀ + a₁x_i1 + а₂х_iа + ... + а_mх_im + _εi . (2.1.3)

Анализ уравнения (4.1.3) и методика определения параметров стано­вятся более наглядными, а расчетные процедуры существенно упрощают­ся, если воспользоваться матричной формой записи уравнения (2.1.4):

Y=Xα+ε. (2.1.4)

Здесь У - вектор зависимой переменной размерности nx1, представляющий собой n наблюдений значений у_i, Х - матрица независимых переменных, элементы которой суть n х m наблюдения значений т неза­висимых переменных Х₁ X₂, Х₃, ..., Х_m размерность матрицы Х равна m х 1; - α - подлежащий оцениванию вектор неизвестных параметров размерности т х 1; ε - вектор случайных отклонений (возмущений) раз­мерности n х 1. Таким образом,

Уравнение (4.1.4) содержит значения неизвестных параметров α₁, α ₂, α _m . Эти величины оцениваются на основе выборочных наблюдений, поэтому полученные расчетные показатели не являются истинными, а представляют собой лишь их статистические оценки. Модель линейной регрессии, в которой вместо истинных значений параметров подставлены их оценки (а именно такие регрессии и применяются на практике), имеет вид

Y=X α +e= +e, (2.1.5)

где α - вектор оценок параметров; е - вектор «оцененных» отклонений регрессии, остатки регрессии е = y - Х α; - оценка значений Y равная Х α.

Для оценивания неизвестного вектора параметров к воспользуемся методом наименьших квадратов (МНК). Формула для вычисления параметров регрессионного уравнения имеет вид:

Α=(X^TX)^-1X^TY. (2.1.6)

Рассмотрим случай зависимости переменной Y от одного фактора X. Мы хотим подобрать уравнения.

Используя (4.1.6), можно получить следующие выражения для вычисления α₁ и α₀:

(2.1.8)