Мультипликативные модели регрессии и их линеаризация.

Уравнение (3.1) называют аддитивным, тогда как уравнение вида

у=a0х1a1х2a2 ´…´хmam (4.1)

называется мультипликативным.

Коэффициенты аj являются коэффициентами эластичности.

Например, при исследовании спроса на мясо получено уравнение

где у – количество спрашиваемого мяса, х1 – цена, х2 – доход. Рост цен на 1% при том же доходе вызывает снижение спроса в среднем на 2,63%. Увеличение дохода на 1% обусловливает при неизменных ценах рост спроса на 1,11%.

Логарифмируя (4.1), приходим опять к линейному уравнению регрессии.

Замена переменных:

В новых переменных модель запишется следующим образом:

Степенные (мультипликативные) модели получили широкое распространение в эконометрическом моделировании ввиду простой интерпретации параметров, которые представляют собой частные коэффициенты эластичности результативного признака по соответствующим факторным признакам.

Пусть, например, требуется оценить параметры производственной функции Кобба-Дугласа Y=AKaLb. Логарифмируя обе части, получаем

ln Y=lnA+alnK+blnL. (4.2)

Полученная формула линейна относительно логарифмов выпуска Y, капитала K и труда L, и она может быть оценена как множественная линейная регрессия.

Здесь α и β – эластичности выпуска по затратам капитала и труда соответственно. Сумма этих коэффициентов является таким важным экономическим показателем, как отдача от масштаба. При α + β = 1 говорят о постоянной отдаче от масштаба (во сколько раз увеличиваются затраты ресурсов, во столько же раз увеличивается выпуск). При α + β <1 имеет место убывающая отдача от масштаба (увеличение объема выпуска меньше увеличения затрат ресурсов). При α + β >1 – возрастающая отдача от масштаба (увеличение объема выпуска больше увеличения затрат ресурсов).

В частном случае, когда a+b=1, делается преобразование

Y/L =A(K/L)a Þ ln (Y/L) =lnA+aln(K/L). (4.3)

Далее оценивается парная линейная регрессия логарифма производительности труда Y/L от логарифма капиталовооруженности К/L. Если зависимость оценивается по данным временных рядов, то часть тренда зависимой переменной может объясняться действующими во времени факторами, например, в производственной функции Кобба-Дугласа нейтральный технический прогресс учитывают с помощью множителя еgt:

Y=AKaLbеgt Þ ln Y=lnA+alnK+blnL+ gt (4.4)

где t – время, параметр – темп прироста объема производства благодаря техническому прогрессу, и опять приходим к модели линейной регрессии.