Метод наименьших квадратов (МНК).

Оценка параметров регрессии a и b производится по наблюденным значениям зависимой и объясняющей переменным (x_i,y_i), i=1,2,…,n, где n – число пар наблюдений (объем выборки). Рассматриваются n уравнений у_i= aх_i+b +e_i, где уклонения e_i является следствием реализации случайной составляющей, и выбирают такие значения a и b, которые минимизируют сумму квадратов этих уклонений, т.е. ищется минимум

Q=å_ie_i²= å_i(у_i – aх_i - b)² (2.4)

по отношению к параметрам a и b. Заметим, что указанный метод наименьших квадратов (МНК)может быть применен к любой кривой регрессии f(x). “Наилучшая” по МНК прямая линия всегда существует, но даже наилучшая не всегда является достаточно хорошей. Если в действительности зависимость у= f(x) является, например, квадратичной, то ее не сможет адекватно описать никакая линейная функция, хотя среди всех линейных функций обязательно найдется “наилучшая”.

Для отыскания минимума берутся частные производные Q по искомым параметрам (в данном случае по a₀ и a₁) и приравниваются к нулю. После выполнения элементарных преобразований получают так называемую систему нормальных уравнений, из которой и находятся искомые параметры. Для парной линейной регрессии получаем

a=( – × )/( – ( )²), (2.5)

b= –a × =(( ) × – × )/( – ( )²),

где =åx_iy_i/n, =åx_i/n, =åy_i/n, =åх_i²/n.

Коэффициент a называется коэффициентом регрессии и обозначается r_yx. Из (2.1) и (2.5) следует, что

r_yx = r_yx s_y /s_х. (2.6)

Если выборка имеет достаточно большой объем и хорошо представляет генеральную совокупность (репрезентативна), то заключение о тесноте линейной зависимости между признаками, полученными по данным выборки, в известной степени может быть распространено и на генеральную совокупность, т.е. можно выдвинуть гипотезу об имеющейся линейной связи во всей генеральной совокупности вида у= aх+b.