Решение

В соответствии с законом сохранения механической энергии, полная энергия груза, падающего на пружину, равна энергии упругой деформации пружины при её сжатии. Полная энергия груза равна его потенциальной энергии U; при этом за нулевой уровень отсчёта потенциальной энергии примем положение сжатой пружины при падении груза (рис.1), тогда

(1)

где m – масса груза, g – ускорение свободного падения; k – жёсткость пружины.

Если груз положить на пружину (рис.2), то в соответствии с законом Гука запишем:

. (2)

В состоянии равновесия сила упругости равна силе тяже- сти груза

,

откуда .

Подставляя полученное выражение для k в уравнение (1), получим:

. (3)

Уравнение (3) можно преобразовать к виду

Тогда решение этого уравнения, удовлетворяющее физическому смыслу задачи (решением задачи будет являться лишь положительный корень), будет иметь вид:

Выполняя вычисления, получим

 

Пример 3. Из пружинного пистолета был произведён выстрел вертикально вверх. Определить высоту h, на которую поднимается пуля массой m = 20 г, если пружина жёсткостью k = 196 H/м была сжата перед выстрелом на x = 10 см. Массой пружины пренебречь.

Решение

Система пуля – Земля (вместе с пистолетом) является замкнутой системой, в которой действуют консервативные силы – силы упругости и силы тяготения. Поэтому для реше- ния задачи можно применить закон сохранения механической энергии. Согласно этому закону, полная механическая энергия E₁ в начальном состоянии (перед выстрелом) равна полной энергии E₂ в конечном состоянии (когда пуля поднялась на высоту h), т.е.

E₁ = E₂, или T₁+U₁= T₂+U₂, (1)

где Т₁ и Т₂ – кинетическая энергия системы в начальном и конечном состояниях; U₁ и U₂ – потенциальные энергии в тех же состояниях.

Так как кинетические энергии пули в начальном и конечном состояниях равны нулю, то равенство (1) примет вид

U₁= U₂. (2)

Если потенциальную энергию в поле тяготения Земли на её поверхности принять равной нулю, то энергия системы в начальном состоянии равна потенциальной энергии сжатой пружины, т.е. , а в конечном состоянии – потенци- альной энергии пули на высоте h, т.е. .

Подставив приведённые выражения U₁ и U₂ в формулу (2), найдём

или .

Произведя вычисления, получим h = 5 м.

 

1.8. Механика жидкостей и газов