Пример 12.

Определить ранг матрицы

.

Решение.

У матрицы А существуют миноры до 4-го порядка включительно, поэтому

r(A) ≤ 4. Разумеется, непосредственное вычисление всех миноров 4-го, 3-го и т.д. порядка потребовало бы слишком много времени. Поэтому, используя элементарные преобразования, приведем матрицу А к треугольному виду. Поменяем местами 1-ю и 2-ю строки, чтобы элемент а₁₁ стал равным 1:

А ~ .

Прибавим к третьей строке первую, ко второй – удвоенную первую, к четвертой – первую, умноженную на 3. Тогда все элементы 1-го столбца, кроме а₁₁, окажутся равными нулю:

А ~ .

Вычтем вторую строку полученной матрицы из третьей и четвертой строк:

А ~

и вычеркнем нулевые строки:

А ~ .

Итак, ранг матрицы А равен рангу полученной матрицы размера 2×6, т.е.

r(A) ≤ 2. Минор

следовательно, r(A) = 2.