Дисперсия и среднеквадратическое отклонение

Математическое ожидание – это среднее значение случайной величины. Однако, знания среднего значения для характеристики случайной величины недостаточно.

Нужно еще характеризовать разброс значений случайной величины около среднего значения. Разброс значений случайной величины от среднего значения дает величина X - MX. Но взять математическое ожидание отклонения в качестве меры такого разброса не имеет смысла, так как оно равно нулю.

Определение. Дисперсией случайной величины X называется величина DX, равная

(7)Далее будет показано, что для вычисления дисперсии можно использовать формулу
(8)
По формулам, определенным выше, получаем для дискретной случайной величины с конечным рядом распределения

(9)Величина M(X²) вычисляется по формул

(10)Пусть дискретная случайная величина имеет бесконечное число возможных значений. Тогда
(11)При условии, что ряд (11) сходится.

Пусть задана непрерывная случайная величина X, распределенная на интервале [a;b].

(12)Для бесконечного интервала распределения
(13)
При условии, что интеграл (13) сходится.
Однако использование дисперсии не совсем удобно. Дисперсия имеет размерность квадрата единицы измерения исходной случайной величины. Для устранения этого недостатка вводится среднеквадратическое отклонение s, равное

Замечание. Из введенных определений видно, что математическое ожидание и дисперсия существуют не всегда.