Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах
Для тройных интегралов, как и для двойных, имеют место формулы замены переменных при переходе от прямоугольных координат к новым системам координат, наиболее употребительными из которых являются цилиндрические и сферические координаты.
Переход от прямоугольных координат к цилиндрическим координатам (рис. 6.8), связанным с соотношениями
,
осуществляется по формуле
.
Выражение называют элементом объема в цилиндрических координатах.
Название «цилиндрические координаты» связано с тем, что координатная поверхность (т.е. поверхность, все точки которой имеют одну и ту же координату r) является цилиндром, прямолинейные образующие которого параллельны оси .
Рис. 6.8. Цилиндрические (слева) и сферические (справа) координаты
Переход от прямоугольных координат к сферическим координатам (рис. 6.8), связанным с соотношениями
,
осуществляется по формуле
.
Выражение называют элементом объема в сферических координатах.
Название «сферические координаты» связано с тем, что координатная поверхность (т.е. поверхность, все точки которой имеют одну и ту же координату ) является сферой с центром в начале координат.
Пример. Вычислить тройной интеграл
,
где – область, ограниченная поверхностями и (рис. 6.9).
Рис. 6.9. Пример вычисления тройного интеграла в цилиндрических координатах
В данном примере удобно перейти от прямоугольных к цилиндрическим координатам.
Так как область проектируется на плоскость в круг , то угол изменяется в пределах от 0 до , радиус-вектор r изменяется в пределах от 0 до 1. Координата z изменяется от значений для точек, лежащих на параболоиде , до значений для точек, лежащих на плоскости , т.е. .
Применяя формулу для вычисления тройного интеграла в цилиндрических координатах, получаем
.