Вычисление двойного интеграла в полярных координатах

В двойном интеграле, как и в определенном, замена переменных – важнейший метод приведения интеграла к виду, более удобному для вычисления.

Наиболее важным для практических приложений частным случаем замены переменных является замена декартовых координат x и y полярными координатами – радиусом-вектором r и полярным углом (переход из декартовой системы координат в полярную)

по формуле

.

Выражение называют обычно элементом площади в полярных координатах.

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах, так же как и в полярных, сводится к вычислению повторного интеграла, но только роль переменных играют теперь .

 

Пример. Вычислить двойной интеграл

,

где G – четверть круга , расположенная в первом квадранте.

Очевидно, что в области G радиус-вектор r изменяется в пределах от 0 до 1, а угол – от 0 до (рис. 6.5).

Тогда получаем

 

 

Рис. 6.5. Пример вычисления двойного интеграла в полярных координатах