Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
Вычисление двойного интеграла сводится к вычислению двух определенных интегралов следующим способом.
Пусть область G (рис. 6.3) ограничена кривыми
,
причем всюду на отрезке функции и непрерывны и . Тогда
,
причем сначала вычисляется внутренний определенный интеграл по переменной y, а полученный результат интегрируется во внешнем определенном интеграле по переменной x. При этом интеграл, стоящий в правой части формулы, называют повторным или двукратным интегралом.
Аналогично, если область G (рис. 6.3) ограничена кривыми
,
причем всюду на отрезке функции и непрерывны и , то
,
причем сначала вычисляется внутренний определенный интеграл по переменной x, а полученный результат интегрируется во внешнем определенном интеграле по переменной y.
Рис. 6.3. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
Пример. Вычислить двойной интеграл
,
если область интегрирования G ограничена линиями .
Форма области G (рис. 6.4) позволяет применить первую формулу при :
.
Рис. 6.4. Пример вычисления двойного интеграла в декартовых координатах
Если же для вычисления данного двойного интеграла применить вторую формулу, то следует положить
.
Тогда, используя свойство 3 двойного интеграла, получим:
Очевидно, что в данном примере целесообразнее проводить вычисления по первой формуле.
Результаты расчетов, естественно, одинаковы.