Линейное однородное дифференциальное уравнение высшего порядка с постоянными коэффициентами

Определение. Линейным однородным дифференциальным уравнением высшего (n-го) порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

,

где коэффициенты – заданные действительные числа.

Метод решения. Согласно теореме 4.3 общим решением на отрезке линейного однородного дифференциального уравнения высшего порядка с постоянными коэффициентами является линейная комбинация

–линейно независимых на том же отрезке частных решений этого уравнения .

Для их нахождения составляется и решается характеристическое уравнение

,

получаемое заменой в исходном дифференциальном уравнении производных искомой функции степенями , причем сама функция заменяется единицей. Характеристическое уравнение – это алгебраическое уравнение степени n.

Каждому из n корней характеристического уравнения соответствует одно из n линейно независимых частных решений линейного однородного дифференциального уравнения, причем:

– каждому действительному простому корню k соответствует частное решение вида

;

– каждому действительному корню k кратности соответствуют частных решений вида

;

– каждой паре комплексных сопряженных простых корней и соответствует два частных решения вида

;

– каждой паре комплексных сопряженных корней и кратности соответствуют 2 частных решений вида

.

Составляя линейную комбинацию из найденных частных решений, получаем общее решение линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами.

Примеры

1) Найти общее решение однородного дифференциального уравнения .

Характеристическое уравнение и его решения:

– два действительных простых корня.

Частные решения однородного дифференциального уравнения:

.

Общее решение исходного однородного дифференциального уравнения является линейной комбинацией полученных частных решений:

.

2) Найти общее решение однородного дифференциального уравнения

.

Характеристическое уравнение и его решения:

– двукратный действительный корень.

Частные решения однородного дифференциального уравнения:

.

Общее решение исходного однородного дифференциального уравнения является линейной комбинацией полученных частных решений:

.

3) Найти общее решение однородного дифференциального уравнения

.

Характеристическое уравнение и его решения:

– пара комплексно сопряженных простых корней .

Частные решения однородного дифференциального уравнения:

.

Общее решение исходного однородного дифференциального уравнения является линейной комбинацией полученных частных решений:

.

4) Найти общее решение однородного дифференциального уравнения

.

Характеристическое уравнение и его решения:

– двукратные комплексно сопряженные корни .

Частные решения однородного дифференциального уравнения:

.

Общее решение исходного однородного дифференциального уравнения является линейной комбинацией полученных частных решений:

.