ЗАДАЧА Д2

 

Пользуясь принципом возможных перемещений, для составной конструкции из двух тел, соединённых между собой с помощью шарнира С, определить следующие неизвестные: M_A, R_B (рис. 0, 3, 6, 9); R_A, X_D (рис. 1, 4, 7); Y_A, X_B (рис. 2, 5, 8). Схемы конструкций показаны на рис. 0 – 9 таблицы 2.1, а необходимые для решения данные приведены в таблице 2.2.

Указания.Задача Д2 относится к теме «Принцип возможных перемещений» [1, §§138-140], [3, §§113, 114, 116], который позволяет определять составляющие любой реакции связи независимо от других реакций. Это особенно удобно в том случае, когда требуется определить реакции не всех опор, а одной или нескольких.

Пример Д2.

 

 

Дано: a = 3 м, F = 40 кН,

Р = 25 кН, q = 12 кН/м,

= 30⁰, = 45⁰.

 

Найти: реакции опор.

Рис. 2.1. Условие задачи

Решение. Конструкция, состоящая из двух тел АС и ВС, имеет в точке А шарнирно-подвижную опору, а в точке В – жёсткое защемление. Следовательно, реакция в точке А имеет только одну вертикальную составляющую , а реакция заделки – три: горизонтальную составляющую , вертикальную и момент М_В.

Найдём реакцию подвижной опоры А, для чего мысленно отбросим эту связь, заменив её действие реакцией (рис. 2.2). Система получает одну степень свободы – поворот части АС вокруг точки С, при этом часть ВС остаётся неподвижной.

 

 

Рис. 2.2. К определению реакции

 

Разложим силу на горизонтальную и вертикальную составляющие:

кН, кН.

Сообщим системе возможное перемещение (поворот) δφ>0. Составим уравнение элементарных работ, выражающее принцип возможных перемещений, учитывая, что работа силы при повороте тела равна произведению момента силы относительно центра вращения на угол поворота и положительна, если направления момента и угла поворота совпадают:

или .

Так как δφ>0, то равенство выполняется лишь в том случае, когда выражение в скобках равно нулю. Отсюда

кН.

Для определения горизонтальной составляющей заделки представим опору В в виде ползуна в горизонтальных направляющих и приложим реакцию (рис. 2.3). Равномерно распределённую нагрузку q заменим сосредоточенной силой Q = q·a = 36 кН, а , как и , разложим на горизонтальную и вертикальную составляющие:

кН, кН.

 

Рис. 2.3. К определению составляющей реакции в точке В

 

Сообщим всей конструкции направленное влево возможное поступательное перемещение δ s = δs_A = δs_B = δs_C > 0, так как поворот ползуна в направляющих невозможен. Составим уравнение возможных работ, учитывая, что работа силы при поступательном движении тела равна проекции силы на направление перемещения, умноженной на величину перемещения. Знак работы определяется по знаку проекции силы на направление движения. Если сила перпендикулярна направлению смещения, то её работа на этом перемещении равна нулю. Момент при поступательном движении работы не совершает.

или .

Приравнивая нулю выражение в скобках, получим

кН.

Для определения вертикальной составляющей реакции заделки отбросим связь, препятствующую вертикальному перемещению точки В, заменив жёсткую заделку скользящей с вертикальными направляющими и приложим реакцию (рис. 2.4).

 

Рис. 2.4. К определению составляющей реакции в точке В

Сообщим части ВС возможное перемещение δs = δs_B = δs_C, направленное вертикально вверх. Тогда другая часть конструкции АС будет совершать плоское движение. Так как перемещение δs_С = δs в точке С направлено вертикально вверх, а перемещение δs_А точки А – горизонтально (связь опоры А, имеющей реакцию , препятствует её вертикальному перемещению), то мгновенный центр вращения (точка О) тела АС находится на пересечении перпендикуляров к направлениям перемещений в точках А и С. При этом элементарный угол поворота АС вокруг точки О выражается через δs формулой .

return false">ссылка скрыта

Составим уравнение возможных работ для определения :

,

,

кН.

Знак минус показывает, что вертикальная составляющая заделки направлена в сторону, противоположную направлению, показанному на рис. 2.4.

Для определения момента заделки М_В заменим заделку шарнирно-неподвижной опорой и приложим к конструкции момент М_В (рис. 2.5).

 

Рис. 2.5. К определению реактивного момента

 

Сообщим системе возможное перемещение, повернув ВС вокруг шарнира В на возможный угол поворота δφ₁. Часть АС конструкции в этом случае будет совершать плоское движение вокруг мгновенного центра вращения О, положение которого определяется точкой пересечения перпендикуляров к направлениям смещений в точках А и С. При этом

→ ,

, → .

Составим уравнение возможных работ для определения момента М_В

,

,

кН·м.

Ответ: R_A = 53.81 кН, X_B = 1.68 кН, Y_B = – 36.85 кН, M_B = – 116.54 кН·м.

 

Кратко рассмотрим другие варианты возможных перемещений конструкции. При определении горизонтальной и вертикальной составляющих реакции шарнирно-неподвижной опоры её заменяют шарнирно-подвижной опорой (рис. 2.6, а – в). На рис. 2.6,б вся конструкция АВС совершает мгновенно-вращательное движение вокруг центра вращения точки О, совпадающей с точкой В; на рис. 2.6,в балка ВС вращается вокруг точки В, а угольник АС совершает мгновенно-поступательное движение, так как направления перемещений в точках А и С параллельны.

 

а) схема конструкции б) к определению в) к определению

 

Рис. 2.6

 

Таблица 2.1

Варианты рисунков к задаче Д2 (предпоследняя цифра шифра)

Рис. 0	M     Рис. 1
Рис. 2	Рис. 3
Рис. 4	Рис. 5
Рис. 6	Рис. 7
Рис. 8	Рис. 9

 

Таблица 2.2

Исходные данные к решению задачи Д2

Посл. цифра шифра	a м	F кН	P кН	M кН·м	q кН/м