МД 2.2. Уравнение неразрывности

 

Рассмотрим элементарную частицу жидкости или газа массой dm, заполняющую объём dt. Если проследить поведение во времени данной частицы, то неизменность ее массы можно выразить соотношением: . Но dm=rdt, где r - плотность. Поэтому

 

.

 

Пусть dt - параллелепипед с размерами Dx, Dy, Dz. По истечении времени Dt длины сторон изменятся. Действительно, пусть вдоль оси х координаты начала и конца объема в нулевой момент времени были . Компоненты вектора скорости вдоль осей горизонтальной системы координат обозначаются u, , w. Тогда через интервал времени ∆t объем переместится в новое положение:

 

 

Аналогичным образом изменятся y, z-координаты.С точностью до членов первого порядка малости по ∆t имеем

 

.

 

Отсюда

 

Следовательно,

.

 

Окончательно получаем:

 

. (14.6)

 

Напомним, u, v, w – составляющие вектора скорости:

 

,

 

а векторы - единичные орты осей горизонтальной системы координат. Операция div называется дивергенцией и определена следующим образом:

 

.

Уравнение неразрывности (14.6) является следствием закона сохранения массы частицы и выведено на основании этого закона. Формально оно утверждает, что плотность в выделенной частице жидкости (воздуха) изменяется во времени только за счет изменения объема этой частицы. В следующем разделе мы обсудим другой эквивалентный подход к описанию движения жидкости, в рамках которого осуществляется контроль за изменением физических величин в фиксированных точках пространства (метод Эйлера). Тогда уравнение неразрывности интерпретируется несколько иным образом: изменение со временем плотности в заданной точке пространства обусловлено притоком или оттоком жидкости (дивергенцией) в элементарный объем, окружающий эту точку.

Уравнение неразрывности оказывает исключительно важное влияние на особенности движения жидкости и воздуха. Если из какой-то области пространства происходит отток жидкости, то такая ситуация не может продолжаться длительно, поскольку образовавшийся недостаток вещества не позволит продолжать течение, если отсутствует приток вещества из другой области. Именно закон сохранения массы часто обуславливает то, что траектории движения частиц жидкости принимают форму замкнутых циркуляционных ячеек.