Инструкция к работе.
Практическая работа № 3
Тема: Решение графическим методом задачи линейного программирования с двумя переменными
Дисциплина: Математические методы
Группа:________________410____________________________________
Студент: _____________________ ____________ ____________________
подпись дата И.О. Фамилия
Преподаватель:_______________ ____________ __Л.Н. Савинова______
подпись дата И.О. Фамилия
_____________________________________
(оценка)
2012 – 2013 учебный год
Практическая работа № 3.
Решение графическим методом задачи линейного программирования
С двумя переменными
Цель работы: научиться решать задачи линейного программирования с двумя переменными графическим методом.
Справочная литература:
1. Ильченко А.Н. Практикум по экономико-математическим методам: учеб. пособие. – М.: Финансы и статистика; ИНФРА-М, 2009. – 288 с.: ил.
2. Экономико-математические методы и модели: учебное пособие / кол. авторов; под ред. С.И. Макарова. – 2-е изд. – М.: КНОРУС, 2009. – 240 с.
Порядок выполнения работы
1. Повторить учебный материал по конспекту в тетради или по учебным пособиям [1]: стр. 29–39, [2]: стр. 37–41.
2. Выполнить работу по образцу задач.
Инструкция к работе.
Практическая работа носит индивидуальный характер и содержит 2 задания в 34 вариантах: задачу о распределении ресурсов и общую задачу ЛП. Номер варианта соответствует порядковому номеру студента в учебном журнале.
Графический метод решения задачи линейного программирования (ЗЛП) имеет ограниченную область применения, т.к. этот метод используется для ЗЛП с двумя переменными, в которой ограничения выражены неравенствами.
Каждое из неравенств в системе ограничений ЗЛП определяет на координатной плоскости х10х2 некоторую полуплоскость, а система неравенств в целом – пересечение соответствующих плоскостей. Множество точек пересечения данных полуплоскостей называется областью допустимых решений (ОДР, многоугольник решений). ОДР графически может быть представлена представляет собой выпуклым многоугольником, неограниченной выпуклой многоугольной областью, отрезком, лучом, одной точкой. В случае несовместности системы ограничений задачи ОДР является пустым множеством.
Алгоритм решения ЗЛП:
1. Построить многоугольник решений (ОДР):
а) На плоскости х10х2 построить прямые, уравнения которых получаются заменой в ограничениях знаков неравенств на знаки равенств, т.е.
ai1x1 + ai2x2 = bi, i=1, 2, …, m.
б) найти полуплоскости, определяемые каждым из ограничений задачи. Для этого в неравенство подставить координаты какой-либо точки, например (0; 0), и проверить истинность полученного неравенства. Если неравенство истинное, то заштриховать полуплоскость, содержащую данную точку; в противном случае – заштриховать полуплоскость, не содержащую данной точки.
в) определить ОДР как часть плоскости, принадлежащую одновременно всем разрешенным областям, и выделить ее.
2. Построить вектор 
, который указывает направление возрастания целевой функции.
3. Построить линию уровня (опорную прямую) целевой функции перпендикулярно вектору .
4. При поиске максимума целевой функции линия уровня переместить в направлении вектора , при поиске минимума целевой функции – против направления вектора . Последняя по ходу движения вершина ОДР будет точкой максимума или минимума целевой функции (бесконечное число решений). Если такой точки не существует, то сделать вывод о неограниченности целевой функции на множестве решений сверху (при поиске максимума) или снизу (при поиске минимума).
5. Определить координаты точки максимума (минимума) целевой функции. Для вычисления координат оптимальной точки решить систему уравнений прямых, на пересечении которых находится оптимальное решение.
6. Вычислить значение целевой функции.
1.Для изготовления двух видов продукции Р1 и Р2 предприятие использует 4 вида ресурсов: S1, S2, S3и S4. Запасы ресурсов, число единиц ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы продукции, приведены в таблице. Прибыль, получаемая от единицы продукции Р1 и Р2 равна 2 и 3 руб. соответственно. Составить план производства продукции, при котором прибыль от реализации будет максимальной.
| Виды ресурсов | Расход ресурса на изготовление 1 ед. продукции | Запас ресурса, ед. | |
| Р1 | Р2 | ||
| S1 | |||
| S2 | |||
| S3 | - | ||
| S4 | - |
2.Для производства двух видов изделий А и В предприятие использует 3 вида сырья. Другие условия задачи приведены в таблице. Составить план выпуска продукции, при котором прибыль предприятия от реализации продукции будет максимальной при условии, что изделий В надо выпустить не меньше, чем изделий А. Прибыль от реализации одного изделия А составляет 30 руб., изделия В – 40 руб.
| Вид сырья | Расход сырья на 1 изделие, кг. | Общее количество сырья, кг | |
| А | В | ||
| I | |||
| II | |||
| III |
3.При производстве двух видов продукции предприятие использует 3 вида сырья. Составить план выпуска продукции, обеспечивающий максимум прибыли. Исходные данные:
| Запасы сырья | Расход сырья на единицу продукции, кг. | |
| № 1 | № 2 | |
| Прибыль, руб |
4.При производстве двух видов продукции предприятие использует 3 вида сырья. Составить план выпуска продукции, обеспечивающий максимум прибыли. Исходные данные:
| Запасы сырья | Расход сырья на единицу продукции, кг. | |
| № 1 | № 2 | |
| Прибыль, руб |
5.При изготовлении изделий И1 и И2 используют сталь и цветные металлы, а также токарные и фрезерные станки. Согласно технологическим нормам на производство единицы изделия И1 требуется 300 станко-часов токарного и 200 станко-часов фрезерного оборудования, а также 10 кг стали и 20 кг цветных металлов. Для производства единицы изделия И2 требуется соответственно 400, 100, 80 и 50 единиц тех же ресурсов. Цех располагает 12400 станко-часами токарного и 6800 станко-часами фрезерного оборудования, 640 кг стали и 840 кг цветных металлов. Прибыль от реализации единицы изделия И1 составляет 6 руб, от единицы изделия И2 – 16 руб. Составить план производства изделий И1 и И2 с максимальной прибылью.
6.Производство двух видов лесопродукции А и В осуществляется в три операции. Затраты времени на каждую операцию при производстве 1 ед. изделия и прибыль от реализации 1 ед. изделия приведены в таблице. Сколько изделий каждого вида должно произвести предприятие, чтобы получить максимальную прибыль? Число изделий А должно быть не менее 10, а изделий В – не более 70. Максимальный фонд времени на каждую операции – 600, 700 и 1300 час соответственно.
| Изделие | Затраты времени на одну операцию, час | Прибыль, руб. | ||
| I | II | III | ||
| А | ||||
| В |
7.Цех выпускает трансформаторы двух видов, используется железо и проволоку. Общий запас (на сутки) железа – 190 кг, проволоки – 130 кг. На один трансформатор первого вида расходуется 2 кг железа и 3 кг проволоки, а на один трансформатор второго вида расходуется 2 кг железа и 1 кг проволоки. За каждый реализованный трансформатор первого вида завод получает прибыль 3000 руб, второго – 4000 руб. Составить план выпуска трансформаторов (на сутки), обеспечивающий максимум прибыли, причем число трансформаторов первого вида не должно превышать 60, а второго вида – 50.
8.Для изготовления изделий А и В фабрика расходует в качестве сырья сталь и цветные металлы, имеющиеся в ограниченном количестве. Указанные изделия производят с помощью токарных и фрезерных станков. Определить план выпуска продукции, при котором будет достигнута максимальная прибыль. Исходные данные приведены в таблице:
| Ресурсы | Нормы расхода ресурсов на единицу изделия | Объем ресурсов | |
| А | В | ||
| Сталь, кг | |||
| Цветные металлы, кг | |||
| Токарные станки, станко-ч | |||
| Фрезерные станки, станко-ч | |||
| Прибыль, тыс. руб. |
9.Предприятие располагает ресурсами сырья, рабочей силой и оборудованием, необходимыми для производства 2 видов штор. Затраты ресурсов на изготовление единицы каждого вида товара, прибыль, получаемая предприятием, а также объем ресурсов указаны в таблице. Определить оптимальный ассортимент при условии, что товаров 1 вида выпустят не более 10 ед., 2 вида не менее 8 ед., а 3 и 4 видов не менее 10 ед.
| Ресурсы | Расход ресурсов на единицу товара | Объем ресурсов | |
| 1 вид штор | 2 вид штор | ||
| Ткань, м | |||
| Рабочее время швеи, чел.-час | |||
| Оборудование, ч | |||
| Прибыль на 1 товара, руб. |
10.Молочный цех производит йогурт и сливочное масло. Один кг йогурта приносит прибыль 5 руб, а один кг масла 10 руб. При каком объеме производства прибыль будет максимальна? Исходные данные представлены в таблице:
| Виды ресурсов | Расход ресурса на 1 кг продукта | Запас ресурсов | |
| йогурт | масло | ||
| Молоко | |||
| Молочная закваска | |||
| Пищевые добавки |
11.Консервный завод выпускает продукцию двух видов: джем и компот. Изготовляется она из четырех видов сырья: персики, яблоки, малина и клубника. Составить план выпуска продукции, обеспечивающий максимум прибыли. Исходные данные таковы:
| Вид сырья | Запас сырья, кг | Расход сырья на 1 банку продукта | |
| джем | компот | ||
| Персики | |||
| Яблоки | |||
| Малина | |||
| Клубника | |||
| Прибыль от продажи 1 банки, руб. |
12.Для производства карамели двух видов и кондитерская фабрика использует сахар и фруктовое пюре. Нормы расхода ресурсов на 1 кг карамели, общие запасы ресурсов и цена реализации приведены в таблице. Считая, что сбыт карамели обеспечен, определить, сколько карамели А и В надо выпускать фабрике, чтобы доход был максимальным?
| Ресурсы | Расход на производство 1 кг карамели | Общий запас ресурсов | |
| «Вишенка» | «Клубничка» | ||
| Сахар, кг | 0,3 | 0,6 | |
| Фруктовое пюре, кг | 0,4 | 0,2 | |
| Трудоемкость, чел.-час | 0,4 | 0,5 | |
| Цена реализации 1 кг, руб. |
13.По данным таблицы определить оптимальный план производства конфет кондитерской фабрикой «Заря», при котором фабрика получит наибольшую прибыль.
| Ресурсы | Расход на производство 1 кг продукции | Объем ресурсов | |
| «Ромашка» | «Василек» | ||
| Сахар, кг | 0,5 | 0,3 | |
| Шоколад, кг | 0,3 | 0,5 | |
| Орехи, кг | 0,3 | 0,5 | |
| Цена реализации 1 кг, руб. |
14.Составить математическую модель производства йогуртов молочным заводом по данным таблицы. Найти оптимальный план производства йогурта, обеспечивающий максимальную выручку заводу от реализации. Исходные данные представлены в таблице:
| Виды ресурсов | Расход ресурса на 1 ед. йогурта | Запас ресурсов | |
| сливочный | молочный | ||
| Молочная закваска, кг | 0,2 | 0,3 | |
| Сливки, кг | 0,5 | 0,2 | |
| Оборудование, час | 0,3 | ||
| Цена 1 кг продукта, руб. |
15.Для производства двух сортов мороженого комбинат использует сахар и сливки. Затраты этих продуктов, их суточные запасы и цена реализации приведены в таблице. Считая, что сбыт мороженого обеспечен, найти, сколько сливочного и молочного мороженого должен выпускать в сутки комбинат, чтобы доход от реализации был максимальным?
| Ресурсы | Расход на производство 1 кг мороженого | Общий запас ресурсов | |
| молочное | сливочное | ||
| Сливки, кг | 0,2 | 0,1 | |
| Сахар, кг | 0,2 | 0,4 | |
| Трудоемкость, чел.-час | |||
| Цена реализации 1 кг, руб. |
16.Найти оптимальный план производства мороженого городским хладокомбинатом, обеспечивающий наибольшую выручку от реализации мороженого. Исходные данные:
| Ресурсы | Расход на производство 1 кг мороженого | Объем ресурсов | |
| пломбир | крем-брюле | ||
| Сливки, кг | 0,6 | 0,4 | |
| Сахар, кг | 0,4 | 0,3 | |
| Морозильник, час | 1,5 | ||
| Цена реализации 1 кг, руб. |
17.Для выпуска двух сортов теста (бисквитное и песочное) кондитерская фабрика использует сахар и яйца. Необходимые данные приведены в таблице. Считая, что сбыт теста полностью обеспечен, определить, сколько теста каждого сорта надо производить, чтобы доход от реализации был максимальным?
| Ресурсы | Расход на производство 1 кг теста | Общий запас ресурсов | |
| бисквитное | песочное | ||
| Яйца, шт. | 2,5 | ||
| Сахар, кг | 0,3 | 0,25 | |
| Трудоемкость, чел.-час | 0,25 | 0,5 | |
| Цена реализации 1 кг, руб. |
18.Фабрика выпускает два вида ткани: ситец и бязь, используя 3 вида ресурсов. Составить план производства тканей, обеспечивающий максимум дохода. Спрос на ситец не превышает 180 м в сутки. Исходные данные:
| Вид ресурса | Суточные запасы ресурса | Расход ресурса на производство 1 м ткани, ед. | |
| ситец | бязь | ||
| Оборудование | |||
| Сырье | |||
| Электроэнергия | |||
| Цена реализации 1 м ткани, руб. |
19.Фабрика по производству мягких игрушек выпускает собачек и мишек, используя поролон и ткань. Расход материалов, их суточные запасы и цена реализации приведены в таблице. Установлено, что суточный спрос на игрушки не превышает 300 шт. Составить план производства фабрики игрушек, обеспечивающий максимальный доход от реализации.
| Ресурсы | Расход на производство 1 изделия | Суточный запас материалов | |
| собачка | мишка | ||
| Ткань, м | |||
| Поролон, кг | |||
| Цена реализации 1изделия, руб. |
20.Определить суточную производственную программу цеха по пошиву женской одежды, т.е. установить количество брюк и юбок, которые должен сшить цех, чтобы получить максимальный доход. Суточный спрос на юбки обеспечен, а на брюки – не превышает 18 ед.
| Ресурсы | Расход на производство 1 ед. товара | Суточный запас ресурсов | |
| Брюки | Юбки | ||
| Ткань, м | 1,5 | ||
| Трудоемкость, чел.-час | |||
| Накладные расходы, руб. | |||
| Цена 1 товара, руб. |
21.Для пошива пальто и курток швейная фабрика использует ткань двух видов. Установлено, что спрос на куртки не превышает 30 ед. в сутки. Определить, сколько пальто и курток должна производить фабрика, чтобы ее доход был максимальным? Данные:
| Ресурсы | Расход на производство 1 ед. товара | Суточный запас ткани, м | |
| пальто | куртка | ||
| Вид 1 | |||
| Вид 2 | |||
| Цена 1 товара, руб. |
22.Колхоз имеет возможность приобрести не более 19 трехтонных и не более 17 пятитонных автомашин. Отпускная цена трехтонного грузовика – 4000 долл., пятитонного – 5000 долл. Колхоз может выделить для приобретения автомашин 141 тыс. долл. Сколько нужно приобрести автомашин, чтобы их суммарная грузоподъемность была максимальной?
23.Предприятие располагает ресурсами сырья, рабочей силой и оборудованием, необходимыми для производства 2 видов штор. Затраты ресурсов на изготовление единицы каждого вида товара, прибыль, получаемая предприятием, а также объем ресурсов указаны в таблице. Определить оптимальный ассортимент при условии, что товаров 1 вида выпустят не более 10 ед., 2 вида не менее 8 ед., а 3 и 4 видов не менее 10 ед.
| Ресурсы | Расход ресурсов на единицу товара | Объем ресурсов | |
| 1 вид штор | 2 вид штор | ||
| Ткань, м | |||
| Рабочее время швеи, чел.-час | |||
| Оборудование, ч | |||
| Прибыль на 1 товара, руб. |
24.Для изготовления изделий А и В фабрика расходует в качестве сырья сталь и цветные металлы, имеющиеся в ограниченном количестве. Указанные изделия производят с помощью токарных и фрезерных станков. Определить план выпуска продукции, при котором будет достигнута максимальная прибыль. Исходные данные приведены в таблице:
| Ресурсы | Нормы расхода ресурсов на единицу изделия | Объем ресурсов | |
| А | В | ||
| Сталь, кг | |||
| Цветные металлы, кг | |||
| Токарные станки, станко-ч | |||
| Фрезерные станки, станко-ч | |||
| Прибыль, тыс. руб. |
25.Предприятие производит продукцию двух видов, используя следующие ресурсы: сырье, электроэнергия, рабочее время. Определить план выпуска продукции, при котором суммарная стоимость была бы максимальная прибыль. Исходные данные приведены в таблице:
| Ресурсы | Расход на изготовление 1 ед. продукции | Запас ресурсов | |
| Вид 1 | Вид 2 | ||
| Сырье, кг | |||
| Электроэнергия, кВт . ч | |||
| Рабочее время, чел.-час | |||
| Стоимость 1 ед. продукции, руб. |
26.Мебельная фабрика производит комоды и шкафы. Цена 1 изделия: шкаф – 8000 руб., комод – 6000 руб. Расход ресурсов на производство одного изделия и общее количество ресурсов приведены в таблице.
| Ресурсы | Расход на изготовление 1 ед. продукции | Общее количество ресурсов | |
| Вид 1 | Вид 2 | ||
| Дуб, м3 | 0,2 | 0,1 | |
| Сосна, м3 | 0,1 | 0,3 | |
| Рабочее время, чел.-час | 1,2 | 1,5 |
Считая, что сбыт готовой продукции обеспечен, определить. Сколько комодов и шкафов следует изготовить фабрике, чтобы доход от их реализации был максимальным.
27.Завод выпускает изделия двух типов (газовый котел и газовая колонка), используя при этом сырье четырех видов. Расход сырья каждого вида на изготовление 1 продукции и запасы сырья приведены в таблице. Цена готового газового котла – 9000 руб, газовой колонки – 6000 руб. Составить план производства газовых котлов и колонок, обеспечивающий максимальный доход от реализации.
| Ресурсы | Расход на изготовление 1 ед. продукции | Общее количество ресурсов | |
| Газовый котел | Газовая колонка | ||
| I | |||
| II | |||
| III | |||
| IV |
28.Имеются два вида корма – I и II, содержащие витамины S1, S2, S3. Содержание витаминов в 1 кг каждого вида корма и их необходимый минимум приведены в таблице. Стоимость 1 кг корма I и II – 4 и 6 руб. соответственно. Составить минимальный по стоимости дневной рацион, в котором содержание каждого вида питательных веществ было бы не менее установленного предела.
| Витамин | Объем витаминов в 1 кг корма, ед. | Необходимый минимум, ед. | |
| I | II | ||
| S1 | |||
| S2 | |||
| S3 |
29.По предписанию врача пациенту необходимо перейти на диету и за сезон употребить питательные вещества, содержащиеся во фруктах и ягодах, в количествах, указанных в таблице. Цена 1 кг фруктов – 30 руб., ягод – 40 руб. Определить, какое количество фруктов и ягод необходимо купить за сезон, чтобы выполнить предписание врача с минимальными затратами.
| Вещество | Содержание вещества в 1 ед. продукта, ед. | Необходимый минимум, ед. | |
| Фрукты | Ягоды | ||
| Р1 | |||
| Р2 | |||
| Р3 | |||
| Р4 | - | ||
| Р5 |
30.Имеются корма двух видов: сено и силос. Их можно использовать для кормления скота в количестве соответственно не более 26 и 84 кг. Построить модель, на основе которой можно составить кормовой рацион минимальной стоимости, содержащий не менее 60 корм. ед., не менее 1,6 кг протеина, не менее 170 г. кальция, не менее 75 г. фосфора. Данные о питательности кормов приведены в таблице:
| Питательные вещества | Содержание питательного вещества в 1 ед. корма, ед. | |
| сено | силос | |
| Кормовые единицы, кг | 0,7 | 0,6 |
| Протеин, г | ||
| Кальций, г | 1,7 | 3,4 |
| Фосфор, г | 3,5 | 2,5 |
| Себестоимость корма на 1 кг, руб |
31.Рацион питания животных на ферме состоит из двух видов кормов – I и II. Один кг корма I стоит 80 руб. и содержит: 1 ед. жиров, 2 ед. белков, 1 ед. углеводов, 2 ед. нитратов. Один кг корма II стоит 50 руб. и содержит 3 ед. жиров, 1 ед. белков, 8 ед. углеводов, 4 ед. нитратов. Составить наиболее дешевый рацион питания, обеспечивающий: жиров – не менее 6 ед., белков – не менее 7 ед., углеводов – не менее 8 ед., нитратов – не более 16 ед.
32.Для сохранения нормальной жизнедеятельности человек должен в сутки потреблять белков – не менее 120 усл. ед., жиров – не менее 70 усл. ед. и витаминов – не менее 10 усл. ед. Их содержание в каждой единице продукта равно: П1 – 0,2; 0,075; 0 усл. ед., П2 – 0,1; 0,1; 0,1 усл. ед. Стоимость 1 ед. продукта П1 – 2 руб., П2 – 3 руб. Требуется организовать питание человека так, чтобы стоимость продуктов была минимальной, а организм получил необходимое количество питательных веществ
33.В рационе животных используется два вида кормов. Животные должны получать три вида веществ. Составить рацион кормления, обеспечивающий минимальные затраты. Исходные данные таковы:
| Необходимое количество питательного вещества | Содержание питательного вещества в 1 ед. корма, ед. | |
| № 1 | № 2 | |
| Стоимость единицы корма, руб |
34.В рационе животных используется два вида кормов. Животные должны получать три вида веществ. Составить рацион кормления, обеспечивающий минимальные затраты. Исходные данные таковы: