Решение

Для расчета интенсивности света в точке наблюдения Р можно применить метод зон Френеля. Каждая зона имеет внутренний и внешний радиусы. При переходе от внутренней части зоны к внешней фаза волны изменяется на π, что соответствует разности хода . Если зону разбить на равные по площади кольцевые подзоны и действие каждой подзоны представить в виде вектора амплитуды , то сумма векторов всех подзон даст результирующий вектор амплитуды зоны Френеля. Он соединяет начало первого вектора и конец последнего. Из рис. 4 видно, что вектор в пределах каждой зоны поворачивается на π

 

В пределе, когда число кольцевых зон будет неограниченно возрастать, а ширина стремиться к нулю, векторная диаграмма примет вид спирали (рис. 4д). Спираль Френеля позволяет оценить интенсивность освещенности в точке Р, так как интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды. Из сравнения рис. 4а и 4д видно, что амплитуда при открытой первой зоне Френеля в два раза больше амплитуды А₀ полностью открытого фронта, а интенсивность в точке P равна I₁ = 4I₀, то есть в четыре раза больше интенсивности при полностью открытом волновом фронте.

 

Рис. 4 а

 

Рис. 4 б

Рис. 4 б

 

 

Если обозначить амплитуды колебаний от зон Френеля A₁, A₂, A₃,..., то, учитывая направления векторов, описывающих колебания от различных зон Френеля, получим для результирующей амплитуды A_рез= A₁ - A₂ + A₃ - A₄ + A₅ - ..., причем с ростом номера k зоны амплитуды уменьшаются. Учитывая это, результирующую амплитуду можно представить так:

Выражения в скобках приблизительно равны нулю, поэтому

Если k – нечетное, нужно взять знак плюс, если четное – минус. Если число зон k велико, то , и мы получим результирующую амплитуду от полностью открытого фронта (рис. 4д):

Полученный результат согласуется с рис. 4д.

 

Если на пути сферического фронта волны находится преграда в виде диска, закрывающего для точки наблюдения Р первую зону Френеля, то пройдут волны от всех зон Френеля, начиная со второй. В точке Р амплитуда результирующего колебания будет

то есть амплитуда результирующего колебания равна половине амплитуды колебания, даваемого первой зоной (или амплитуде полностью открытого фронта).

Если пройдут волны от зон, начиная с третьей, то (рис. 6). Если диск закроет 2,5 зоны, то (рис. 7), то есть в точке Р при достаточно малом размере диаметра диска будет всегда наблюдаться светлое пятно.