B) Параметрическое задание кривой.

Формула (1) может быть применена и в случае, когда кривая, ограничивающая криволинейную трапецию, задана параметрическими уравнениями

, .

Произведя замену переменной в интеграле (1) (в предположении, что при и при ), получим

(4)

Если плоская фигура ограничена кусочно-гладкой замкнутой кривой, заданной параметрическими уравнениями , причем при граница пробегается против часовой стрелки, то площадь фигуры вычисляется по одной из формул:

; ; (5)

Пример 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом

Первый способ. С учетом симметрии эллипса относительно координатных осей в соответствии с формулой (1) запишем

.

Самостоятельно вычислите интеграл с помощью замены (как в примере 5).

Второй способ. Запишем параметрические уравнения эллипса:

.

Нижнему пределу интегрирования соответствует значение параметра , если , то . По формуле (4) находим

Третий способ. При изменении параметра от до граница фигуры обходится против часовой стрелки, начиная с точки . Например, по первой из формул (5) находим

Замечание. Полезно запомнить, что площадь, ограниченная эллипсом с полуосями , определяется формулой

 

Пример 8. Найти площадь, ограниченную осью абсцисс и первой аркой циклоиды

 

Циклоиду описывает точка окружности радиуса , катящейся без скольжения по прямой. Полный оборот окружность делает при изменении параметра от 0 до , пройдя при этом по прямой расстояние . При этом если , то , если , то .

 

По формуле (4) найдем

Площадь, ограниченная одной аркой циклоиды и осью абсцисс равна утроенной площади образующего круга.